El progreso imparable. Soluciones.

Llegó el momento de dar las soluciones a los problemas que os planteé en esta otra entrada.

En el primero te proponían un intercambio. Yo te efectuaba diez mil pagos, siendo cada uno de ellos igual al anterior más 20 euros y, a cambio, tú me hacías doscientos pagos, siendo el primero de 1 euro y los demás un diez por ciento más que el anterior. Las dos secuencias de pagos serían:

Yo a tí: 10 €, 30 €, 50 €, 70 €, 90 €, ... , diez mil veces
Tú a mí: 1 €, 1.10 €, 1.21 €, 1.331 €, 1.4641 €, ... , doscientas veces

Para ayudarte a tomar una decisión, y que veas que no quiero aprovecharme de ti, voy a decirte lo que me tocaría pagarte. Si aplicas la fórmula de la anterior entrada:  \[Suma = \frac{{10 + 199990}}{2}10000 = 1000000000=10^9\]o sea mil millones de euros, sí has leído bien, mil millones. Por mi parte, tendrían que pasar 25 pagos, para que me hicieras un pago de 10 euros, que fue tu pago inicial. Ahora, por favor, vuelve a pensar si te interesa el trato.

Si lo has aceptado, tengo una mala noticia: has hecho un pésimo negocio. Si aplicas la formula que te permite sumar los doscientos primeros términos de una progresión geométrica de razón 1,1:$$S = \frac{{ {1.1^{200}\times 1.1}-{1} }}{{1.1 - 1}}\approx 18,99\times 10^{9}$$O sea aproximadamente 19 veces la cantidad que yo te había pagado.

En el siguiente problema proponía hacer una una pila de hojas de papel, empezando desde cero y añadiendo cada vez un taco adicional de cien hojas, repitiendo el proceso 64 veces. Tenemos una progresión aritmética de razón 100 y el número total de hojas sería: \[Suma = \frac{{100 + 64000}}{2}100 = 3205000\]Como el grosor de una hoja de papel viene a ser de una décima de milímetro la altura final sería de unos 320 m, que es el equivalente a un edificio de 90 plantas. En el segundo caso teníamos 64 hojas e íbamos dividiendo cada vez cada hoja el doble de veces que la vez anterior y apilando los trocitos de papel. Lo mejor de este problema es que, físicamente, es imposible hacerlo. Si hablamos de una hoja tamaño DIN A4, hacia la mitad del taco nuestros pedazos de hoja de papel tendrían el tamaño de un átomo de hidrógeno, y todos sabemos lo difícil que resulta partir un átomo de hidrógeno por la mitad, a menos que seas de Bilbao y tengas unas tijeras muy, pero que muy, afiladas. Aún en el supuesto de que hubiésemos podido seguir dividiendo las hojas, para colocar el último pedazo de la última hoja tendríamos que trasponer bastante más allá de los límites del Sistema solar, lo que te saldría, aún teniendo abono de transportes, por un pico.

El último problema era saber que había de verdad en leyenda del origen del juego del ajedrez. Para rellenar el tablero, el rey necesitaría 2⁶⁵ granos de arroz, que a un peso de 0,027 g por grano nos da una cantidad total de 9,92 x 10¹¹ toneladas de arroz. Como la producción mundial prevista de arroz para el año 2015 es de 474,6 millones de toneladas, se necesitarían 2082 años de cosechas para poder recompensar al sabio.


¿Cuáles son los errores que cometemos cuando se nos presenta un problema de este tipo? Si nos fijamos en el primer ejemplo, mal razonamos pensando que, si hemos necesitado 25 pagos para llegar a 10 €, necesitaremos otros 25 pasos para llegar a 20, cuando la realidad es que los siguientes 25 pasos nos van a llevar a 100 €, los siguientes 25 a 1000 €, y así sucesivamente. Pero además es que tenemos tendencia a olvidar los pagos intermedios. Efectivamente el pago número 25 ha sido de 10 €, pero la suma de los pagos del 1 al 24 ha sido de 100 €, y el pago número 50 de 100 €, pero la suma de los anteriores asciende a 1100 €.

En resumen la aparente lentitud inicial con la que crecen las progresiones geométricas nos enmascaran su comportamiento tan traicionero, lo que nos va a llevar indefectiblemente al desastre.

A estas alturas seguro que te estarás preguntando para que te va a servir saber todo esto en tu día a día.

La jerga de los paper

Lo reconozco, soy una urraca. Para desesperación de mi mujer me gusta guardar de todo pensando que a lo mejor algún día lo necesito. Naturalmente ese día no llega nunca... hasta hoy.

Hace ya más de 20 años guarde un recorte de prensa de El País, que se titulaba una visión irónica de los artículos científicos. Hoy tras leer esto y, aprovechando que el recorte me había aparecido el otro día mientras buscaba otra cosa, he decido publicar la guía que figuraba en el artículo y que sirve para traducir el significado de las afirmaciones más habituales que se utilizan en los artículos científicos. Aunque la cosa es de hace ya más de 20 años sigue estando en vigor.

Espero que paséis un buen rato leyéndolo.

Cuando dicen:	Quieren decir:
Se sabe desde hace tiempo	No me he molestado en mirar la referencia original
... de gran importancia tanto teórica como práctica	... a mí me interesa
Aunque no ha sido posible dar una respuesta decisiva a estos interrogantes	No es que  haya entendido gran cosa, pero voy a ver si cuela una publicación de todas maneras.
El compuesto de tungsteno y plomo fue escogido por ser idóneo para demostrar el efecto predicho	Al tío del laboratorio de al lado le sobraba una muestra
Alta pureza, muy alta pureza, pureza extremadamente alta, superpuro, espectroscópicamente puro	Composición desconocida excepto por las pretensiones exageradas del proveedor
Tres casos fueron escogidos para un posterior análisis detallado	Los resultados en los demás casos no los entendía y los tiré a la basura
... fueron manejados con extremo cuidado durante los experimentos	... sólo se me despanzurró uno en el suelo
Los resultados típicos se muestran...	Los mejores resultados se muestran
Aunque algo de detalle se pierde en la reproducción fotográfica…	A partir del negativo es imposible decir...
Probablemente para periodos más largos…	No tuve la paciencia de comprobarlo...
Estos resultados serán anunciados más tarde	A ver si tengo la paciencia de trabajar algo más
Los valores más increíbles son los obtenidos por Fulanito	Era uno de mis estudiantes
Se sugiere...	Creo que
Parece ser que...
Es posible que...
Está claro que se requiere una labor adicional...	Yo no lo entiendo
Correcto dentro de un orden de magnitud...	Erróneo
Cabe esperar que este trabajo de lugar a otros en el mismo campo	Este artículo no es muy bueno, pero tampoco lo son los demás en este asunto sin interés
Agradecemos a Fulano su asistencia en la realización de los experimentos y a Mengano sus interesantes comentarios.	Fulano hizo el trabajo y Mengano nos explicó que significa.

Algunas curiosidades que nunca te contó tu profe de mates.

Estando un día con mi hija Carmen en brazos se nos acercaron unos turistas y me puse a hablar con ellos en inglés. En esto llega mi mujer y mi hija, muy seria, le dice:

— Mamá... Papá habla raro.

Desde pequeños, estoy tratando de meterles en la cabeza a mis hijos la importancia de saber idiomas para poder entenderse, sin ayuda de nadie, en el idioma original de tu interlocutor. El más que sabido traduttore—traditore ha dado lugar a numerosas anécdotas y las matemáticas tampoco iban a librarse de ellas. Como ya conté aquí, el mundo occidental empezó a tener noticia de las funciones trigonométricas a partir de las traducciones realizadas por Robert de Ketton (o Chester), quien en el 1145 tradujo en Segovia¹ la célebre obra de al-Jwarizmi  Hisab al-Yabr wa' l-Mukabala, considerado el primer libro de álgebra. A la hora de traducir, el árabe es un idioma especialmente jodido porque al escribirlo es muy común omitir las vocales cortas y el significado de la palabra ha de deducirse del contexto. Así dicho el bueno de Roberto se encontró con el término:

jb

y tuvo que ponerle, como si estuviese jugando a la Ruleta de la Fortuna, las vocales apropiadas. No sabemos si fue por pereza o porque se estaba aficionado en exceso al cochinillo y al buen vino, pero el hecho es que Don Roberto no se molestó de buscar en Google, porque si lo hubiera hecho se habría encontrado con...

En el común de Occidente las únicas aportaciones dignas de mención que le otorgamos a los hindúes es el descubrimiento del cero y la invención del ajedrez. Naturalmente la realidad es mucho más amplia, ya que la matemática hindú hizo un aporte esencial sin la cual las matemáticas no hubiesen podido desarrollarse. Hablo de la numeración posicional. En el sistema de numeración romana L es siempre cincuenta; X, diez o I, uno. Así por ejemplo LXII equivale a nuestro a 62, y CLXII equivale a 162. Los matemáticos hindúes desarrollan un sistema de numeración en el que el valor de cada número varía con la posición que ocupe. Así un 2 escrito en la segunda posición vale diez veces más que escrito en la primera. Los matemáticos hindúes son, por lo tanto, los inventores del sistema de numeración posicional en base 10 y hacia el 595 d. C. aparece escrita en notación decimal en un plato la fecha del año 346. Pero aún hay más...

En el siglo II a. C Hiparco de Nicea había desarrollado una tabla de cuerdas para poder resolver triángulos. Dicha tabla debió de pasar, probablemente a través de la escuela alejandrina, a los matemáticos hindúes, quienes tradujeron cuerda con el término sánscrito jya, que a su vez deriva del termino cuerda del arco². En algún momento decidieron que sería más práctico trabajar con la mitad de la cuerda (ardha-jya o jya-ardha), y así es como nos lo encontramos en los textos de Aryabhata pero el personal, que aquí y en la India, es bastante perro siguió utilizando el tradicional jya. Cuando los árabes toman prestado el término, lo aproximan por jyla y fonéticamente deriva en el árabe jiba, que escrito queda:

jb

Esta fue la situación en la que se encontró Don Roberto quien acosado por la necesidad, compró vocales y compuso el término:

jaib

que significa: bahía, golfo³ que en latín se dice sinus.

La etimología del resto de los términos trigonométricos es más aburrida. El término coseno lo introdujo John Newton a partir de una modificación del término co.sinus sugerido Edmund Gunter en 1.620. A su vez este término no es más que una abreviación de "seno del ángulo complementario"

Por último los términos tangente y secante los introdujo Thomas Fincke en 1583 y hacen referencia a su significado geométrico clásico: tocar en un punto y cortar. Lo dicho, un rollo.





¹ En aquella época las zonas fronterizas entre España cristiana y musulmana sirvieron como foco de atracción de traductores de todos los países, ya que era el lugar de paso del conocimiento entre el mundo musulmán, mucho más avanzado por aquel entonces, y el cristiano.
² Aquí arco hace referencia al arma.
³ Aquí golfo hace referencia al accidente geográfico.

Fuentes
Matemática hindú
La matemática hindú
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.

Mintiendo con ayuda de los mapas

El río Guadiana, cuyo nombre en árabe deriva del que le dieron los romanos, Anna, y éste a su vez de una palabra prerromana que significa¹ río (con lo que río Guadiana sería rio+rio+rio) recorre la submeseta sur española en dirección este-oeste, hasta llegar a altura de Badajoz donde toma rumbo sur, desembocando en el océano Atlántico entre Ayamonte y Vila Real. Su celebridad se debe a que, de acuerdo a la leyenda, es un río que desaparece y reaparece a lo largo de su recorrido y de ahí la expresión ser como el Guadiana, para indicar un fenómeno que desaparece y reaparece sin avisar a intervalos irregulares de tiempo, como por ejemplo la pregunta: ¿quién descubrió América?

Dejemos claro que América la descubrieron los pueblos asiáticos que atravesaron el Puente de Beringia hará unos 13000 años (ó 20000 según con quien hable). Posteriormente hubo incursiones vikingas hacia los siglos X y XI de nuestra era, pero lo que es indudable es que a Colón le corresponde el mérito de haber dado a conocer a Europa y al resto del mundo su existencia... o quizás no, porque Gavin Menzies en su libro, 1421: el año en que China descubrió el mundo, afirma que fue el almirante Zheng Heue quien, al servicio de Zhu Di, tercer emperador de la dinastía Ming, recorrió y cartografió las costas americanas al mando de la mayor flota vista hasta entonces. Como prueba de la existencia del viaje está este mapa, dibujado por Mo Yi Tong en 1763, pero copiado de otro de Zheng Hu de 1418.

El mapa de Mo Yi Tong

Lo malo de este mapa, como han puesto de manifiesto varios expertos, es que es más falso que un euro de madera. Una prueba evidente de su falsedad es que California aparece dibujada como una isla. Desde la expedición de Francisco de Ulloa en 1539 se sabía que California era una península y así aparece dibujada en el mapa de Mercator de 1587.

La triste realidad es que la Isla de California aparece en el mundo por un error de imprenta. Lo que sucedió fue que en los siglos XVI y XVII, en plena Era de los Descubrimientos, los mapas mundi se convirtieron en elementos decorativos y comenzaron a hacerse como rosquillas, sin ningún tipo de criterio científico. Un error en el grabado de una plancha hizo que California apareciese como un isla y el error, alimentado por leyendas y novelas de caballería hizo que la insularidad de California prosperase.

Es más que evidente que alguien que recorrida la costa de California, tanto de norte a sur como de sur a norte, la cartografíe como una isla, por lo tanto el mapa de Mo Yi Tong no es más que una copia de un mapa europeo de la época.


¹Otra posible etimología es que Ana venga de la palabra latina que significaba pato, pero reconozcamos que la primera opción es más chula.

La toponomía o el arte de bautizar (1)

La toponimia es el estudio de los nombres propios de un lugar. El término «toponimia» deriva etimológicamente del griego τόπος (tópos, «lugar») y ὄνομα (ónoma, «nombre»).

La toponímía, como su prima la etimología(del latín etymologĭa y ésta, a su vez, del griego ἐτυμολογία, compuesta por ἔτυμος, 'étymos': "[elemento] verdadero, auténtico" y -λογία, '-logía': "tratado, estudio") nos puede decir mucho acerca de un lugar, de sus gentes y de la historia. El que overseas (más allá de los mares) signifique extranjero tiene mucho que ver con la condición insular de los ingleses.

El origen de los topónimos es variado: unos hacen referencia a nombres de personas (Washington), otros a grupos de personas (Inglaterra/ Tierra de los ingleses), otros a la apariencia física del paisaje (Islandia / Tierra del hielo),  otros son meramente descriptivos y el origen de otros se debe a errores, malas interpretaciones o simple y llanamente manipulaciones del poder establecido.

Una de las cosas que quiero recoger en este blog es, precisamente, el origen de los nombres de los lugares donde vivimos, de manera que agradeceré cualquier colaboración.

Para abrir boca quiero comenzar con una historia curiosa.

No debía de hacer muy buen tiempo cuando Bartolomé Díaz llegó por primera vez al Cabo de Buenaesperanza en 1488 pues lo llamó, con muy buen acierto "Cabo de las Tormentas". Vasco de Gama, descubrió que pasando este cabo se podía seguir navegando en dirección este y de esta manera llegaría a la India el 20 de mayo de 1498.

Algo similar a esto debió de ver Bartolomé Días en 1488

Tras el viaje de Barlomé Díaz surgieron los problemas. El grito de:

"Nos vamos a navegar al Cabo de las Tormentas"

no parecía animar a muchos a enrolarse, por lo que el rey Juan II de Portugal, todo un precursor del markéting moderno, decidió rebautizar al cabo con el mucho más atractivo nombre de:

Cabo de Buena Esperanza.

Y con tan comercial nombre ha llegado hasta nuestros días.

El Cabo de Buena Esperanza, por Torsen

La foto está sacada del Google Earth. Gracias a Torsen, su autor.