Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (4)

Ya disfrutamos de la maravillosa velada entre Lord Napier y Henry Briggs, vimos del porqué de la necesidad de los logaritmos, sabemos como llegó Napier a ellos y hoy trataremos de ver como los calculó. Lo de probar su utilidad lo dejaremos para más adelante.

Vamos a retomar la historia justo donde la dejamos: en la definición que da Neper de logaritmo. Recordemos que hay dos puntos, uno moviéndose sobre el segmento αω, cuya longitud supondremos la unidad, a una velocidad decreciente, proporcional a la distancia que le resta hasta llegar a ω, y el otro moviéndose sobre la recta A a velocidad constante y que ambos salen al mismo tiempo y a la misma velocidad.

Para ver como Neper calculó sus tablas, que era en última instancia lo que Neper necesitaba y estaba buscando, dividió el segmento αω en 10.000.000 (diez millones) de partes recorrido en diez millones de instantes. Si en el primer momento la velocidad era igual a uno, tendríamos: $$\begin{gathered} \omega \;\gamma = 1 - \frac{1}{{{{10}^7}}} \\ \gamma \;\delta = \frac{1}{{{{10}^7}}}\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right) \\ \omega \;\delta = \omega \;\gamma - \gamma \;\delta = \left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right) - \frac{1}{{{{10}^7}}}\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right) = {\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right)^2} \\ \end{gathered}$$ De esta forma tenemos nuestras dos progresiones: una geométrica,
$$1 \;\;\;\; 1-\frac{1}{10^7} \;\;\;\; \left( 1-\frac{1}{10^7}\right) ^2 \;\;\;\; \left(1-\frac{1}{10^7}\right)^3$$
y otra aritmética,
$$0 \;\;\;\; \frac{1}{10^7} \;\;\;\; \frac{2}{10^7} \;\;\;\; \frac{3}{10^7}$$
Pero... si lo hacemos así habría que trabajar con fracciones; lo que Neper solucionó tomando como longitud del segmento αω igual a 10⁷ y no igual a uno, y además había que rellenar los huecos. Para hacerlo Neper se basó en:

Proposición 37 de Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (1620)

Aquí la traducción de la versión original:

De tres senos contiguos en proporción geométrica, así como el cuadrado del medio es igual al producto de los extremos, también los números artificiales¹ del doble del medio es igual a la suma de los extremos. De esta manera conocidos dos de estos números artificiales, el tercero resulta conocido

Hoy en día lo que hizo Neper lo explicaríamos de esta manera:

Proposición 1. En una progresión geométrica el cuadrado del término medio de tres consecutivos es igual al producto de los extremos:

$${a_n}^2= a_{n-1} \; a_{n+1}$$

Proposición 2. En una progresión aritmética el término medio de tres consecutivos es igual a la media de los extremos

$$b_n=\frac{b_{n-1} + b_{n+1}}{2}$$

Proposición 3. Si b_n-1 = log(a_n-1) y b_n+1 = log(a_n+1) entonces $$\frac{b_{n-1} + b_{n+1}}{2}=\log{\sqrt {a_{n-1} \times a_{n+1}}}$$

Con este artilugio, y otro similar, se pueden ir llenando los huecos restantes. Por ejemplo, supongamos que tenemos una progresión geométrica de la forma: $$1 \;\;\;\; 2 \;\;\;\; 2^2 \;\;\;\; 2^3 \;...$$ y su correspondiente progresión aritmética: $$0 \;\;\;\; 1 \;\;\;\; 2 \;\;\;\; 3 \; ...$$ de manera que $$ log(1) = 0 \\ log(2) = 1 \\ log(4) = 2 \\ log(8) = 3$$ Podemos hacer entonces:$$log(\sqrt{2 \times 4}) = log(2,82842712)\\log(\sqrt{2 \times 4}) = \frac{log(2) + log(4)}{2}=\frac{1 + 2}{2}=0,5$$y como por arte de birlibirloque rellenamos las progresiones geométrica y aritmética:$$1 \;\;\;\;  2 \;\;\;\; 2,82842712 \;\;\;\; 4 \;\;\;\; 8\;...\\ 0 \;\;\;\; 1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0,5 \;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\; 2 \;\;\;\; 3\;...$$De esta manera las tablas podrían rellenarse a base de ir haciendo raíces cuadradas, proceso que, aunque largo y tedioso, se podía hacer ayudado por el ábaco que desarrolló el propio Napier. Así el año en que murió Napier, 1617, ve la luz la obra de su buen amigo Henry Briggs, Logarithmorum chilias prima, que comprende los logaritmos de los números 1 a 1,000, con una precisión de 14 decimales. Sin duda uno de los libros más aburridos del mundo y, a la vez, uno de los más esperados.

Pero la historia aún no ha terminado... 


¹ Napier a lo largo de todo el texto de su libro llama a los logaritmos, números artificiales.

Bibliografía:
Historia de los logaritmos. Tapia Moreno, F. J.
El quehacer matemático. un recorrido por la historia. PARTE II: LA MATEMÁTICA EN EL SIGLO XVII. Pérez Delgado, J. M.
Tatón et al (1988). Historia General de las ciencias. Edit Orbis, Barcelona.
Logarithms: The Early History of a Familiar Function
The Logarithms, Its Discovery and Development
Historia de los logaritmos, Navegando entre números.
Las funciones logarítmica y exponencial Aguilar de Pérez, Lidilia (1981)
Ribnikov, K (1991) Historia de las matemáticas. Ed. MIR. Moscú

Del éxito, las matématicas divertidas, los huevos y otras mercedes.

Recuerdo que hace años en un programa de TV iban preguntando a la gente por la calle si les gustaría ser famosos. Hubo, como podéis imaginaros, respuestas de todo tipo aunque lo que más llamó la atención fue que nadie preguntase:

- Famoso, ¿por qué?

Porque claro, digo yo, que no es lo mismo ser famoso por haber descubierto la cura contra el cáncer que ser famoso por haberte pasado por la piedra hasta al gato de la Marujita Diez. Además solemos asumir que ser famoso es lo mismo que tener éxito y, lamentablemente, el tener éxito no es siempre algo bueno. Como ejemplo traigo a estas líneas al Bachiller Pérez de Moya (Santisteban del Puerto (Jaén) 1513 - Granada, 1597), matemático español del siglo XVI. Su principal obra: Aritmética práctica y especulativa conoció la friolera de, al menos, quince ediciones y fue libro obligado de texto desde su publicación en 1562 hasta principios del siglo XIX (la última edición es de 1798). No sé muy bien qué indica el hecho de que un libro esté vigor durante casi 250 años, porque más allá de su indudable calidad, el hecho de que pese a todos los avances registrados en el campo de las matemáticas durante esos años nadie se atreviera a escribir un nuevo tratado de aritmética, demuestra que el estado de languidez de la ciencia española no es un problema de hoy en día.

Pérez de Moya fue, además, un incansable divulgador de las matemáticas y plantea, en forma de diálogo, problemas que entran de ello en el campo de la matemática recreativa. Y en última instancia de eso va el post de hoy, porque de algunas cosas curiosas que me he encontrado en el libro ya hablaré otro día:

Señores y señoras, con Uds. el Bachiller Pérez de Moya:

La solución, próximamente.

Algunas curiosidades que nunca te contó tu profe de mates.

Estando un día con mi hija Carmen en brazos se nos acercaron unos turistas y me puse a hablar con ellos en inglés. En esto llega mi mujer y mi hija, muy seria, le dice:

— Mamá... Papá habla raro.

Desde pequeños, estoy tratando de meterles en la cabeza a mis hijos la importancia de saber idiomas para poder entenderse, sin ayuda de nadie, en el idioma original de tu interlocutor. El más que sabido traduttore—traditore ha dado lugar a numerosas anécdotas y las matemáticas tampoco iban a librarse de ellas. Como ya conté aquí, el mundo occidental empezó a tener noticia de las funciones trigonométricas a partir de las traducciones realizadas por Robert de Ketton (o Chester), quien en el 1145 tradujo en Segovia¹ la célebre obra de al-Jwarizmi  Hisab al-Yabr wa' l-Mukabala, considerado el primer libro de álgebra. A la hora de traducir, el árabe es un idioma especialmente jodido porque al escribirlo es muy común omitir las vocales cortas y el significado de la palabra ha de deducirse del contexto. Así dicho el bueno de Roberto se encontró con el término:

jb

y tuvo que ponerle, como si estuviese jugando a la Ruleta de la Fortuna, las vocales apropiadas. No sabemos si fue por pereza o porque se estaba aficionado en exceso al cochinillo y al buen vino, pero el hecho es que Don Roberto no se molestó de buscar en Google, porque si lo hubiera hecho se habría encontrado con...

En el común de Occidente las únicas aportaciones dignas de mención que le otorgamos a los hindúes es el descubrimiento del cero y la invención del ajedrez. Naturalmente la realidad es mucho más amplia, ya que la matemática hindú hizo un aporte esencial sin la cual las matemáticas no hubiesen podido desarrollarse. Hablo de la numeración posicional. En el sistema de numeración romana L es siempre cincuenta; X, diez o I, uno. Así por ejemplo LXII equivale a nuestro a 62, y CLXII equivale a 162. Los matemáticos hindúes desarrollan un sistema de numeración en el que el valor de cada número varía con la posición que ocupe. Así un 2 escrito en la segunda posición vale diez veces más que escrito en la primera. Los matemáticos hindúes son, por lo tanto, los inventores del sistema de numeración posicional en base 10 y hacia el 595 d. C. aparece escrita en notación decimal en un plato la fecha del año 346. Pero aún hay más...

En el siglo II a. C Hiparco de Nicea había desarrollado una tabla de cuerdas para poder resolver triángulos. Dicha tabla debió de pasar, probablemente a través de la escuela alejandrina, a los matemáticos hindúes, quienes tradujeron cuerda con el término sánscrito jya, que a su vez deriva del termino cuerda del arco². En algún momento decidieron que sería más práctico trabajar con la mitad de la cuerda (ardha-jya o jya-ardha), y así es como nos lo encontramos en los textos de Aryabhata pero el personal, que aquí y en la India, es bastante perro siguió utilizando el tradicional jya. Cuando los árabes toman prestado el término, lo aproximan por jyla y fonéticamente deriva en el árabe jiba, que escrito queda:

jb

Esta fue la situación en la que se encontró Don Roberto quien acosado por la necesidad, compró vocales y compuso el término:

jaib

que significa: bahía, golfo³ que en latín se dice sinus.

La etimología del resto de los términos trigonométricos es más aburrida. El término coseno lo introdujo John Newton a partir de una modificación del término co.sinus sugerido Edmund Gunter en 1.620. A su vez este término no es más que una abreviación de "seno del ángulo complementario"

Por último los términos tangente y secante los introdujo Thomas Fincke en 1583 y hacen referencia a su significado geométrico clásico: tocar en un punto y cortar. Lo dicho, un rollo.





¹ En aquella época las zonas fronterizas entre España cristiana y musulmana sirvieron como foco de atracción de traductores de todos los países, ya que era el lugar de paso del conocimiento entre el mundo musulmán, mucho más avanzado por aquel entonces, y el cristiano.
² Aquí arco hace referencia al arma.
³ Aquí golfo hace referencia al accidente geográfico.

Fuentes
Matemática hindú
La matemática hindú
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (2)

Esta es la entrada donde comencé a hablar de la aburrida maravillosa historia de los logaritmos. Terminé con la primera definición que Napier daba en su libro, por lo que, en buena ley, ahora correspondería continuar con más definiciones, llegar a la definición de logaritmo y terminar con la correspondiente caterva de proposiciones, teoremas y corolarios... justo lo que hace que las matemáticas sean odiadas por la mayor parte del género humano. Así que vamos a darle un pequeño giro y comenzaremos, como no podía de ser de otra forma, por el principio del principio, aunque para ello tengamos que retroceder un poco en el tiempo, aproximadamente hasta el 8500 a. C. en los albores del Neolítico.
El Neolítico marca el momento en que el hombre deja de ser nómada para convertirse en sedentario: es el inicio de la domesticación de los animales, lo que dará lugar al pastoreo, del pastoreo, la agricultura, la cerámica y los primeros poblados (lo que llevaría, años más tarde, a la burbuja inmobiliaria). El sedentarismo conlleva además la necesidad de saber cuándo hay que sembrar, cuándo van a migrar los animales, para adelantarse a sus movimientos, anticipar las crecidas e inundaciones... y todo ello se consigue con el gran reloj natural que son las estrellas. No es de extrañar, por lo tanto, que la astronomía fuera de las primeras ciencias que se desarrollasen y de su mano vienen la trigonometría plana y la esférica.

Vista aérea de Stonehenge, obtenida de Google Earth.

Así la trigonometría era ya conocida por babilonios y egipcios, quienes establecen el sistema sexagesimal. En la antigua Grecia, en el siglo II a. C., Hiparco de Nicea construye una tabla de senos para la resolución de triángulos. Conviene señalar que su definición de seno, no coincidía con la moderna (cateto opuesto dividido entre la hipotenusa). Ellos definían el seno (ver dibujo) como la mitad de la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio R arbitrario.

Definición de seno de un ángulo

También en la época de Napier el seno se consideraba como un segmento. y al radio r se le denominaba "sinus Totus". En sus cálculos Napier utilizará un radio igual a 10 000 000.

También los matemáticos hindúes y árabes trabajaron con las funciones trigonométricas y a finales del siglo X habían completado las restantes funciones trigonométricas (coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente) y habían enunciado los principales teoremas y fórmulas de la trigonometría, tanto de la plana como de la esférica. Habría que esperar hasta el siglo XII para que Occidente comenzase a enterarse de que va la copla, gracias a las traducciones de libros de astronomía árabes, que aparecen en el siglo XII.

Aunque cueste creerlo en el siglo XI los habitantes de Jaén, disponían de baños públicos con piscinas de agua fría y caliente. En la misma época, en el norte de la Península y los antepasados de la señora Merkel se bañaban cuando el coyote cogía al correcaminos.

Todo comienza a cambiar con la llegada del Renacimiento, aunque cuando la cosa comienza realmente calentarse es con el Descubrimiento de América. La navegación impulsa el desarrollo de numerosos campos, produciendo a finales del siglo XVI una auténtica explosión de en todos los saberes relacionados con la ciencia y la tecnología. Astronomía, ingeniería naval, cartografía matemática, geodesia,... todos tienen algo en común necesitan cálculos, cálculos y más cálculos y además suficientemente exactos, lo que a su vez se traduce en la búsqueda de nuevos métodos para calcular más rápidamente y con mayor precisión. Acaba de nacer el arte de la computación (y de ahí a las calculadoras e internet no hay más que un paso). De manera que parece natural que se comenzaran a buscarse sistemas que permitiesen sustituir procesos complicados como la multiplicación o división por otros más sencillos como la suma y la resta. A este procedimiento se le denomina prostaféresis¹ (19 puntos, más los correspondientes bonus, en el Scrabble).
Un buen ejemplo de esto es la igualdad:

que fue la que probablemente la que llevó a Napier a trabajar inicialmente con senos, lo que además estaba plenamente justificado porque su idea original era la de facilitar los cálculos trigonométricos a los astrónomos y, ya puestos, alegrarles un poco su vida².
En resumen a finales del siglo XVI hay una necesidad imperante de hacer cálculos complejos de todo tipo, especialmente trigonométricos, de una forma rápida y precisa y en el horizonte la única idea que aparece como viable, a falta de las calculadoras electrónicas, es sustituir las multiplicaciones por sumas. La pregunta del millón es:

¿Alguien sabe cómo?

Aunque parezca mentira ya se había dado un primer paso. Naturalmente para llegar a él hay que volver a viajar en en el tiempo, unos 2000 atrás aproximadamente, hasta llegar a Aristóteles que en los pocos ratos que Alejandro le dejaba libre, se dedicaba a estudiar cosas tan curiosas como esta:
Escribamos en una fila las potencias de 2 y debajo los números naturales³.

1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	9192
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

Si ahora queremos multiplicar 16 por 128

1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	9192
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

basta con sumar 4 + 7 = 11, para obtener el resultado (2048) buscado. Ahora bien, ¿cómo haríamos con esta misma tabla para multiplicar 3 por 5 9? La genialidad de Napier consistió, precisamente, es saber como rellenar esos huecos.
Como en aquella época aún no se había establecido el concepto de continuidad de una función⁴, Napier utiliza un símil cinemático: el movimiento sincrónico de dos puntos. Sitúa el primero sobre una recta moviéndose a velocidad constante, mientras que el otro se desplaza sobre un segmento a una velocidad decreciente proporcional a la distancia que le resta por recorrer. No está claro⁵ como se le ocurrió a Neper la idea, pero me gusta imaginar que lo que hizo fue darle un giro a la conocida paradoja de Zenón del veloz Aquiles y la tortuga. En ambos casos tenemos dos corredores, uno de ellos corriendo a una velocidad constante (la tortuga / el logaritmo) y otro corriendo sobre un recorrido que sigue una suerte de progresión geométrica decreciente (Aquiles  / el seno). Aquiles, en la paradoja, necesitaría un tiempo infinito para coger a la tortuga, pero como aquí lo que queremos es que los dos vayan a la par, ahora lo que tendrá que ser infinito será el camino recorrido por la tortuga / el logaritmo.
Mañana, más.




¹ Término compuesto de dos palabras griegas: prosthesis (πρόσθεσις) y aphairesis (ὰφαίρεσις) que significan adición y sustracción, dos de los pasos del proceso.

² De ahí que Laplace afirmarse, no sin cierta exageración, que:

"Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos".

³ Progresiones geométricas y aritméticas respectivamente. Si la gente supiese ver la diferencia entre ellas nos ahorraríamos todos los timos piramidales y la burbuja inmobiliaria.

⁴ El concepto de continuidad lo estableció Bolzano en 1781.

⁵ Lord Moulton en la lección inaugural, "La invención del logaritmo, su génesis y evolución", del Congreso que se celebró en Edimburgo en 1915 con motivo del tricentenario de la invención de los logaritmos escribió:

"The invention of logarithms came on the world as a bolt from the blue. No previous work had led up to it, nothing had foreshadowed it or heralded its arrival. It stands isolated, breaking in upon human thought abruptly without borrowing from the work of other intellects or following known lines of mathematical thought ".

El invento de los logaritmos vino al mundo como salido de la nada. Ningún trabajo previo condujo a él, nada lo presagió, ni anunció su llegada. Es algo aislado, que se introduce en el pensamiento humano abruptamente sin tomar nada prestado del trabajo de otros intelectos o siguiendo líneas conocidas del pensamiento matemático.

Bibliografía:
AGULAR PÉREZ, Lidilla. Las funciones logarítmica y exponencial.
CLARK, K. M y MONTELLE, C. Logarithms: The Early History of a Familiar Function.
Math Forum. The Logarithms, Its Discovery and Development.
MOULTON Lord, et al. Napier tercentenary memorial volume.
PÉREZ DELGADO, Juan Manuel. El que hacer matemático. Un recorrido por la historia. Parte II: La matemática en el siglo XVII.
TAPIA MORENO, Francisco Javier. Historia de los Logaritmos. Apuntes de la Historia de las matemáticas. Vol 2. nº 2.

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (1)

El Camino Real Persa, construido en el s V. a.C por Dario I era una carretera que atravesaba todo el imperio y permitía recorrer sus 2700 km de longitud en apenas siete días, facilitando las comunicaciones entre todos los rincones del imperio. Tal era su fama, que cuando el impaciente monarca Tolomeo I de Egipto le preguntó al bueno de Euclides si no existía manera más fácil para que un monarca aprendiera geometría, éste le contestó:

"Majestad, no hay un Camino Real para la geometría".

Y es que pocas cosas igualan tanto a las personas como las matemáticas. Cervantes, por ejemplo, al principio del Quijote no solo hace suyas las palabras de Feliciano de Silva:

''La razón de la sinrazón que a mi razón se hace, de tal manera mi razón enflaquece, que con razón me quejo de la vuestra fermosura,''

si no que también refleja el sentir que durante cientos de años han sentido, y seguirán sintiendo, los estudiantes de todo el mundo, época y condición hacia las maravillosas leyes de la razón entre los números, porque detrás de tan barroco nombre se encuentra una de las más fascinantes, odiadas,  incomprendidas y útiles invenciones de la que ha sido capaz el ser humano: la razón entre los números o logaritmo.

¿Cómo, quién y cuándo se llegó a ellos? ¿Por qué Laplace afirmó que "el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos"?.

En ésta y sucesivas entradas trataré de dar respuestas a estos interrogantes.

En 1614 Napier publica su libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Para quien no domine el latín aquí hay una versión en inglés) donde por primera vez da una descripción de lo que son los logaritmos. Junto a Lord Napier destaca la figura de Henry Briggs, inventor de los logaritmos decimales o comunes. Tenemos una descripción del encuentro entre estos dos fascinantes personajes gracias al relato que hace astrólogo Lilly en su autobiografía William Lilly's history of his life and times from the year 1602 to 1681.

Al principio, cuando Lord Napier, o Marchiston, hizo públicos los logaritmos, el Sr. Briggs, por entonces profesor de Astronomía en el Gresham College de Londres, estaba tan asombrado de su admiración hacia ellos, que no podía estar tranquilo, hasta que hubiese conocido a la noble persona de Lord Marchiston, que era su único inventor. Desde ese instante familiarizó a John Marr¹ con ellos, quien fue a Escocia antes que el Sr. Briggs, para poder estar ahí cuando estas dos eruditas personas se encontrasen. Sr. Briggs señaló un cierto día para reunirse en Edimburgo: pero al ir llegando a la misma, Lord Napier dudaba de que viniese. Sucedió que un día que John Marr y Lord Napier estaban hablando del Sr. Briggs. '¡Ah, John!', dijo Marchiston, 'el Sr. Briggs no vendrá'. En ese mismo instante alguien llamó a la puerta; John Marr se apresuró a ir hacia abajo, y resultó que, para su gran satisfacción, era el Sr. Briggs. Llevó al Sr. Briggs hasta la cámara de Lord (Marchiston) mi Señor, donde ambos hombres estuvieron casi un cuarto de hora, contemplándose con admiración, antes de que se dijese una palabra; por fin señor Briggs comenzó:

"Señor, he emprendido este largo viaje con el propósito de verlo en persona, y saber por qué rasgo de ingenio o inventiva fue el primero en pensar en esta excelente ayuda para la astronomía, a saber, los logaritmos; pero, Señor, siendo Ud. el que lo descubrió, me pregunto como es que nadie los descubrió antes, cuando, ahora una vez conocidos son algo tan sencillo".

Fue noblemente entretenido por Lord Napier, y cada verano después de ese, mientras Lord (Napier) estuvo vivo, este venerable hombre, el Sr. Briggs, fue a propósito a Escocia para visitarle.

Para entender toda la historia vamos a ver como comienza Lord Napier su descripción de los logaritmos:

Def. 1. Una línea se dice que aumenta de manera uniforme, cuando el punto que la describe avanza a través de intervalos iguales en iguales momentos o intervalos de tiempo.

Hay un punto A, a partir del cual una línea se puede dibujar por el flujo [es decir, movimiento regular] de otro punto B, y por lo tanto en el primer momento [o intervalo de tiempo] B pasa de A a C. En el segundo momento, de C a D. En el tercer momento de D a E; y así en adelante indefinidamente, describiendo la línea ACDEF etc. por los intervalos iguales de CA, CD, DE, EF, y con el resto igual sucesivamente, y descritos en intervalos iguales de tiempo. Esta línea se puede decir que aumenta de forma pareja por la definición dada anteriormente.
Cor. De esto, es necesario que las cantidades igualmente diferentes se producen por incrementos igualmente diferentes de tiempo.

Dado que en la figura anterior, en un solo momento B ha progresado de A a C y en tres momentos de  A a E. Así, en seis momentos, B ha progresado desde la A a la H, y en ocho momentos de A a K. Más aún, las diferencias de estos momentos de tiempo, uno y tres, y de los otros seis y ocho, obviamente, son iguales a dos. Así también, como anteriormente, hay diferencias iguales de estas cantidades, AC y AE, CE; y de éstas AH y AK, HK.

En lenguaje moderno hablaríamos, desde el punto de vista de los físicos, que la recta se describe mediante un movimiento uniforme mientras que un matemático vería claro que Lord Napier está describiendo una progresión aritmética de razón b.

Creo que por hoy ya es suficiente, así que para mañana más.

¹ Matemático y geómetra del época.