La historia, poco a poco, va llegando su fin.
Hemos estado en la
velada entre Lord Napier y Henry Briggs, visto como Briggs realizó
la primera tabla, y entre medias hemos hablado de
su necesidad y de cómo
Napier llegó a ellos.
A lo largo de esta historia cualquiera lector que esté mediante enterado del tema habrá sido consciente de que Neper y Briggs lo que hicieron fue desarrollar lo que conocemos como
logaritmos decimales, o logaritmos en base 10, y no los
logaritmos neperianos, o logaritmos en base
e. Si no fue Neper, ¿quién inventó entonces los logaritmos neperianos?
Dada la importancia del tema, no es de extrañar de que Napier no fuese el único interesado en el tema de buscar un sistema que permitiese la simplificación de complejos cálculos matemáticos. Uno de ellos fue contemporáneo de Napier y provenía de la tierra de los chocolates, los bancos y los relojes. Naturalmente era relojero y su nombre era
Jobst Bürgi (1552-1632).
Hay quien afirma que Bürgi inventó los logaritmos allá por 1586, pero la realidad es que no publicó sus
Arithmetische und geometrische Progress Tabulen hasta 1620, en una época bastante convulsa de la historia de Europa. En 1618 se había producido la conocida Defenestración de Praga
1 que dio origen a la Guerra de los Treinta Años y el 8 de noviembre de ese mismo año, tras la batalla de la Montaña Blanca, las tropas imperiales entraban en Praga. Si a eso le sumamos el celo con que Bürgi guardaba sus descubrimientos, no es de extrañar que sus tablas permaneciesen desconocidas al gran público, lo que le hizo merecer el reproche de Kepler quien le acusó de "haber desamparado al hijo de su espíritu en vez de educarlo para la posteridad". Un punto a favor de Bürgi fue darse cuenta de que las propiedades de los logaritmos eran independientes de su base y que podrían aplicarse a cualquier progresión geométrica. Siendo evidente que a menor razón de la progresión, mayor facilidad a la hora de efectuar los cálculos, él tomo como base de sus logaritmos al número 1,0001.
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| Portada del libro de Bürgi Arithmetische und Geometrische Progreß-Tabulen.
Obsérvese que contiene un error tipográfico en la entrada para 5000
(que no figura en la tabla). El valor que figura es 105126407 siendo el correcto 105126847. |
Para calcular sus logaritmos Bürgi tiene que ir calculando
sucesivamente las potencias de 1,0001. Inclusive sin calculadora es
fácil ir calculando estas potencias, pues, como vemos en la siguiente
tabla
4, en ellas van a ir apareciendo los números combinatorios:\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}m\\n\end{array}} \right)\]
| n |
1,0001n |
| 1 |
1,000100000000000000000000000000000000 |
| 2 |
1,000200010000000000000000000000000000 |
| 3 |
1,000300030001000000000000000000000000 |
| 4 |
1,000400060004000100000000000000000000 |
| 5 |
1,000500100010000500010000000000000000 |
| 6 |
1,000600150020001500060001000000000000 |
| 7 |
1,000700210035003500210007000100000000 |
| 8 |
1,000800280056007000560028000800010000 |
| 9 |
1,000900360084012601260084003600090001 |
Bürgi fue escribiendo las sucesivas potencias en forma de una tabla de doble entrada de 50 filas por ocho columnas. En el encabezado de las filas aparece el exponente
n, esto es el logaritmo, aumentando su valor de uno en uno, mientras que en la cabecera de la columna,
n aumenta de 50 en 50. Como en los dos casos se omite el punto decimal la primera impresión es que en las filas el exponente aumenta de 10 en 10 y en las columnas de 500 en 500. Lo más característico de esta tabla es que Bürgi imprime los exponentes (logaritmos) en color rojo
2.
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Cálculo de a113 = 1,0001113 = 101136352. En notación moderna escribiríamos:
log1,0001 113 = 1,001136352 |
La intersección de la columna y de la fila nos da la correspondiente potencia:$${a_n} = {1.0001^n}$$ En este caso el valor resultante se imprime en color negro
3. Como en aquella época se procuraba evitar el uso de números decimales, Bürgi multiplica todas las potencias por 10
8.
Dado que en la actualidad la entrada se obtiene combinando los
valores de los encabezados de la columna y de la fila y el valor de la
función tabulada está en la intersección
de esos dos valores, se suele decir que la tabla de Bürgi es, en
realidad, una tabla de antilogaritmos o de una función exponencial.
La base para los cálculos de Bürgi es el número
B = 1,0001 y la entrada
an es la
n-ésima potencia de
B, por lo tanto tenemos que
a0 = 1. Por otra parte a Bürgi le parecía lógico que la tabla debía terminar en aquel valor de
N que hiciese$${a_N} = 1\;000\;000\;000.$$Dicho valor, al que llamó
die ganze Rote Zahl (el número rojo entero), resultó ser $$N = 23027.0022$$y a su correspondiente antilogaritmo:$$a_{230270.022}=1.0001^{23027.0022}= 1\;000\;000\;000,$$lo llamó
die ganze Schwarze Zahl (el número negro entero).
En resumen la tabla presenta los logaritmos (exponentes) desde:$$0.0 \le n \le 23027.0$$y sus correspondientes antilogaritmos (potencias):$$1.0 \times 10^8 \le {a_n}=1.0001^n< 10.0 \times 10^8$$La portada del libro tiene mucha más miga de lo que parece a primera vista. En ella aparecen enumerados los logaritmos (en rojo) de 500 en 500 (recordemos que el punto decimal no aparece) y sus correspondientes antilogaritmos en negro, iniciándose en el 500(0) y finalizando en el
número rojo entero 23027(0).
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| Ampliación de la portada |
La disposición de las entradas en forma circular es una muestra de la genialidad de Bürgi, pues muestra su idea de que la próxima década, por ejemplo, [10, 100)
es una mera repetición de tamaño 10 veces mayor de la actual, por
ejemplo, [1, 10). Sin saberlo, Bürgi se anticipó a la conocida fórmula de Euler:\[{e^{ix}} = \cos x + i\sin x,\] que relaciona las funciones trigonométricas y la exponencial.
Como se utiliza la tabla de Bürgi
La utilización de las tablas de Bürgi no es sencilla. De hecho el autor prometió publicar un libro de instrucciones que, hasta donde sabemos, nunca vio la luz. Para ver como se utiliza vamos a seguir el ejemplo descrito en Waldvogel (2012)
6:
Calcular c = 6,35923131 elevado a la quinta.
Comenzaríamos buscando en los números de negro dicho valor:$$n = {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {6.35923131} \right)$$El número rojo buscado resulta ser$$n=18500.0$$
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| Busca las erratas evidentes en la tabla |
Para hallar la quinta potencia, basta multiplicar el número rojo por cinco:$$\begin{array}{l}
5\;n = 5\;{\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {6.35923131} \right) = {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {{{c}^5}} \right)\\ 5\;n = 95200.0 \end{array}$$Tenemos el problema de que los logaritmos solo llegan hasta el valor 23027,0022, por lo tanto para mantenerlo dentro del rango adecuado, habrá que escalar nuestro resultado dentro del rango de la tabla. Si multiplicamos el
número rojo completo por 4, obtendríamos el valor$$\begin{array}{l} N = {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {10.0} \right) = {\rm{23027}}{\rm{,0022}}\\ 4N = {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {{{10.0}^4}} \right) = {\rm{92108}}{\rm{.0088}} \end{array}$$que es mayor que nuestro
5n, por lo que ya estaríamos dentro de la tabla. Tendríamos entonces que:$$\begin{array}{c}{\rm{5n}} - {\rm{4N}} = {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {{{c}^5}} \right) - {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {{{10.0}^4}} \right)\\= {\mathop{\rm BürLog}\nolimits} \left( {\frac{{{{c}^5}}}{{{{10.0}^4}}}} \right) = 391.9912 \approx 392 \end{array}$$
Solo nos queda calcular 1.0001
392. Para ello tenemos que buscar en la columna correspondiente a
3500 y en la fila
420.
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| Una vez más se verifica la ley de Murphy: Falta un dígito |
Aquí es donde aparece nuestro amigo Murphy, pues en el valor que necesitamos nos falta un dígito:$$ a_{392}=10399\;\;642$$Llegados a este punto solo nos quedan dos opciones: o nos basamos en como se construye la tabla de Bürgi:$${a_{n+1}} = {a_{n}} + \frac{{{a_{n}}}}{{10000}}$$ o bien nos damos un toque de modernidad y tiramos del Mathematica.
Una vez resuelto este pequeño problema, podemos afirmar que el valor que debería aparecer en la tabla es$$103997642$$que al dividirlo por 10
8 y deshacer el escalado multiplicando por 10
4, nos como resultado$$10399.7642$$frente al valor real$$10399.7550732144655...$$Naturalmente podríamos afinar el resultado si en vez de aproximar 391.9912 por 392 nos hubiéramos tomado la molestia de interpolar entre
a391 y
a392. En ese caso ni siquiera hubiera sido necesario calcular el valor de
a392:
| rojo |
negro |
| 391,0000 |
$${a_{391}}$$ |
| 391,9912 |
$$\frac{{{c^5}}}{{{{10}^4}}}$$ |
| 392,0000 |
$${a_{391}} + \frac{{{a_{391}}}}{{10000}}$$ |
Interpolando tendríamos:$$\frac{{{c^5}}}{{{{10}^4}}} = {a_{391}} + 0.9912\frac{{{a_{391}}}}{{10000}} = 103997551$$Obteniendo en este caso el resultado exacto:$$c^5=10399.7551$$
Napier y Bürgi frente a frente.
Tanto Bürgi como Napier tenían como principal objetivo la simplificación de la operaciones de división y multiplicación. Para conseguir este proposito tanto la elección de la base (Bürgi; 1,0001 y Napier 0,3678794228 ≈
e-1) como la forma de presentar la tablas, (Bürgi a incrementos regulares de los logaritmos y tabulación de la función exponencial, Napier a incrementos regulares de los números y tabulación de la función logarítmica) son irrelevantes.
A favor de Bürgi está el hecho de que el que algoritmo que utiliza es más simple y evidente y que consigue idénticos resultados con menos esfuerzos. En contra, como ya dijimos, su negativa a divulgar su descubrimiento.
Por último, desde un punto de vista formal Bürgi llega a sus logaritmos mediante al álgebra, mientras que Napier se apoya en la geometría.
En cualquier caso estamos ante uno de esos casos en la que dos científicos, de forma independiente y saber nada el uno del otro llegan a desarrollar el mismo descubrimiento. Parece por lo tanto justo considerar a ambos descubridores simultáneos de los logaritmos.
Aún así, y al igual que le pasó a Colón, es Napier quien se lleva el mérito, lo que demuestra la importancia de la publicidad. Por eso como homenaje el matemático francés Lacroix decidió bautizar a los logaritmos cuya base es el, siempre imitado pero nunca igualado, número
e con su nombre y de ahí el
logaritmo neperiano, si bien también esos logaritmos son conocidos como
logaritmos naturales, lo que da para otra historia.
Notas
1 Para ser precisos la
tercera defenestración. Por lo visto los praguenses tienen como deporte local arrojar por una ventana a todo aquel que les cae gordo.
2 Por eso Bürgi llamó a sus logaritmos
Die Rote Zahl (los números rojos).
3 Die Schwarze Zahl, (los números negros).
4 Los más frikis que traten de demostralo. Se hace fácil si usamos el binomio de Newton, pero en ningún caso se os ocurra hacerlo con la Excel.
5 ¿Algún voluntario se anima a calcular a qué exponente hay que elevar 1,0001 para obtener 2?.
6 Una de las razones por las que he utilizado dicho ejemplo es porque en esa misma página la tabla contiene dos errores tipográficos.
Bibliografía:
Fernández, J. Mª.; Barragán, J. M. y Molina, A. El número e. Una breve idea de cómo se inventaron los logaritmos
Lefort Historia de los logaritmos
Waldvogel (2012) Jost Bürgi and the discovery of the logarithms. Seminar für Angewandte Mathematik Eidgenössische Technische Hochschule CH-8092 Zürich. Suiza
Bürgi, Jost. Arithmetische und Geometrische Progreß-Tabulen.
