La jerga de los paper

Lo reconozco, soy una urraca. Para desesperación de mi mujer me gusta guardar de todo pensando que a lo mejor algún día lo necesito. Naturalmente ese día no llega nunca... hasta hoy.

Hace ya más de 20 años guarde un recorte de prensa de El País, que se titulaba una visión irónica de los artículos científicos. Hoy tras leer esto y, aprovechando que el recorte me había aparecido el otro día mientras buscaba otra cosa, he decido publicar la guía que figuraba en el artículo y que sirve para traducir el significado de las afirmaciones más habituales que se utilizan en los artículos científicos. Aunque la cosa es de hace ya más de 20 años sigue estando en vigor.

Espero que paséis un buen rato leyéndolo.

Cuando dicen:	Quieren decir:
Se sabe desde hace tiempo	No me he molestado en mirar la referencia original
... de gran importancia tanto teórica como práctica	... a mí me interesa
Aunque no ha sido posible dar una respuesta decisiva a estos interrogantes	No es que  haya entendido gran cosa, pero voy a ver si cuela una publicación de todas maneras.
El compuesto de tungsteno y plomo fue escogido por ser idóneo para demostrar el efecto predicho	Al tío del laboratorio de al lado le sobraba una muestra
Alta pureza, muy alta pureza, pureza extremadamente alta, superpuro, espectroscópicamente puro	Composición desconocida excepto por las pretensiones exageradas del proveedor
Tres casos fueron escogidos para un posterior análisis detallado	Los resultados en los demás casos no los entendía y los tiré a la basura
... fueron manejados con extremo cuidado durante los experimentos	... sólo se me despanzurró uno en el suelo
Los resultados típicos se muestran...	Los mejores resultados se muestran
Aunque algo de detalle se pierde en la reproducción fotográfica…	A partir del negativo es imposible decir...
Probablemente para periodos más largos…	No tuve la paciencia de comprobarlo...
Estos resultados serán anunciados más tarde	A ver si tengo la paciencia de trabajar algo más
Los valores más increíbles son los obtenidos por Fulanito	Era uno de mis estudiantes
Se sugiere...	Creo que
Parece ser que...
Es posible que...
Está claro que se requiere una labor adicional...	Yo no lo entiendo
Correcto dentro de un orden de magnitud...	Erróneo
Cabe esperar que este trabajo de lugar a otros en el mismo campo	Este artículo no es muy bueno, pero tampoco lo son los demás en este asunto sin interés
Agradecemos a Fulano su asistencia en la realización de los experimentos y a Mengano sus interesantes comentarios.	Fulano hizo el trabajo y Mengano nos explicó que significa.

Planeando por los mapas

Noche de Reyes... y una vez más mis pequeños tratando de descubrir dónde van a dejar sus SS. MM. de Oriente los regalos. Como el año pasado su plan no tuvo mucho éxito a la hora de descubrir a SS. MM. mientras ponían los juguetes, este año han diseñado un nuevo plan de ataque y para ello nada mejor que dibujar un nuevo plano:

Figura 1. El plano de la búsqueda de los juguetes

¿He dicho plano? ¿No debería haber dicho mapa?

¿Qué es un plano? ¿Qué es un mapa?

¿No son éstas dos de las mayores interrogantes a las que se ha enfrentado el hombre desde el inicio de los tiempos?

Vale quizás exagero un poquitín, pero si uno no se pone un poco en modo drama, no es feliz del todo.

Para empezar a aclarar las ideas conviene que repasemos el concepto de escala. La escala no es más que la relación que existe entre la medida hecha en un mapa y la medida realizada sobre el terreno. La escala, como vemos en la figura 1 puede ser gráfica, en la que la relación entre las distancias se muestra mediante un dibujo, o numérica, donde se representa la relación entre ambos valores en la forma $$E=\frac{distancia\,en\,el\,mapa}{distancia\,en\,el\,terreno}=\frac{1}{n}$$ siendo n un número entero. De manera que una escala $$E:\;1:50000$$ quiere decir que 1 cm en el terreno equivale a 50.000 cm = 500 m en el terreno. Cuanto menor es el valor de n mayor es el del cociente $$E:\;1:n$$ de manera que podríamos hablar de mapas a gran escala, mediana escala o pequeña escala. ¿Dónde están los límites?

Figura 2. Diferentes tipos de escalas gráficas y numéricas

La respuesta es... que no hay respuesta. No hay que buscar mucho en Internet para, como se ve en la tabla 1, ver que no hay un criterio fijo para poder hacer una clasificación de los mapas en función de la escala. ¿Por qué?

Fuente	1	2	3	4
Pequeña	< 250.000	≤ 250.000	< 500.000	< 100.000
Mediana	5.000 − 250.000	50.000 − 100.000	50.000 − 500.000	100.000 − 10.000
Grande	> 50.000	25.000 − 10.000	5.000 − 50.000	> 10.000

1 Instituto Nacional de Estadística y Geografía (México)
2 Universidad de Granada (España)
3 Un Universo invisible bajo nuestros pies
4 Instituto Geográfico Nacional (España)

Tabla 1: Clasificación de los mapas, en función de su escala, de acuerdo a diversas fuentes.

La razón hay que encontrarla en el uso y las necesidades de aquellos que utilizan los mapas. El mapa, y por ende la escala, que necesita un biólogo para representar la ruta migratoria de las cigüeñas no es el mismo que el que necesita un artillero de campaña, un ingeniero civil o un arquitecto. Es más el nivel de detalle que pueda necesitar un arquitecto es diferente según esté diseñando una casa o un planeamiento urbano. La profesión y el uso diario que demos a los mapas es lo que en última instancia nos determina los límites para separar un mapa en función de su escala.

¿Y qué sucede si seguimos aumentando la escala? A mayor escala, mayor nivel de detalle, lo que resulta muy útil si queremos representas la situación exacta de elementos de pequeño tamaño, como por ejemplo una arqueta o una farola. Ahora bien las dimensiones de una hoja de papel A0 son 841 mm x 1189 mm por lo tanto lo máximo que vamos a poder representar a una escala 1:2000 es una distancia de 2000 m, y en ese rango de distancias podemos considerar que la Tierra es plana. ¿Por qué?

Figura 3. Relación entre la cuerda y el arco

La diferencia entre la cuerda, c, (Tierra plana) y el arco, s, (Tierra esférica) viene dada por la expresión:$$s-c=R\times{}(\frac{s}{R}-2\times{}\sin{\frac{s}{2\times{}R}}).$$Como el radio de la Tierra es 6400 km, para que dicha diferencia sea apreciable, digamos superior al milímetro, debemos de trabajar con distancias del orden de los diez kilómetros. En función de la escala (ver la tabla 2) esa distancia equivale, en cm, a:

escala 1:n
50.000	25.000	10.000	5.000	2.000	1000	500
20	40	100	200	500	1000	2000

Tabla 2: A qué equivalen 10 km sobre el papel (en cm) en función de la escala

Por ejemplo, a escala 1:2000 necesitaríamos una hoja de papel de 5 m de largo para poder trabajar en un rango de distancias donde la curvatura de la Tierra pudiese tener algún tipo de influencia.

A este tipo de mapas donde no se tiene en cuenta la esfericidad de Tierra se les denomina planos. Así pues un plano no es más que un tipo particular de mapas. El límite para hablar de mapa o plano también es difuso. Hay un consenso en aceptar que para escalas iguales o superiores a 1:2.000 hablamos de planos, y que para escalas inferiores a 1:10.000, tenemos mapas; pero entre medias hay una tierra de nadie donde la controversia está servida.

Figura 4.¹ Plano de Benegiles (Zamora) de 1929 a escala 1:2000 sin georrefenciar

Hay además otras consideraciones a tener en cuenta. Cuando hablamos de mapas tenemos que ir más allá de la mera representación de una parte de la Tierra. A veces nos interesa representar algún tipo de fenómeno, por ejemplo la red de metro, en la que tanto nos da que la Tierra sea esférica o tenga forma de icosaedro, porque lo importante es mostrar la situación y la conexión que existe entre las distintas estaciones. En este caso es perfectamente correcto hablar de planos, con independencia a la escala a la que estén hecho, porque incluso la escala es irrelevante.

Figura 4. El plano del metro de Madrid.

Otro punto a tener el cuenta es el de la georreferenciación. Con este "palabro"  indico la necesidad de dar coordenadas absolutas, ya sean geográficas (latitud, longitud y altura) o planas (referidas estas últimas a una determinada proyección cartográfica). No hace tantos años el dar coordenadas absolutas era un auténtico trabajo de chinos. De manera que lo más habitual, si la obra era de pequeña extensión, era trabajar con coordenadas locales: el topógrafo asignaba a un punto unas coordenadas arbitrarias (1000, 2000, 500) y a partir de ahí se realizaba todo el trabajo. Pero los tiempos cambian y en eso han tenido mucho que ver la implantación de dos nuevas tecnologías: el GPS y los SIG.

Un SIG, o sistema de información geográfica, es un sistema que vincula información a una posición geográfica². Naturalmente los SIG trabajan con coordenadas absolutas y el hecho de que a día de hoy cualquier tipo de mapa o plano, tenga como destino final un SIG, obliga a que éstos estén, sí o sí, georreferenciado; y aquí es donde entra en liza el GPS, o sistema de posicionamiento global, que nos permite obtener las coordenadas absolutas de un punto con precisión centimétrica en tan solo unos minutos.

De esta manera una de las distinciones que se solía hacer entre mapas y planos (los primeros tienen coordenadas, los segundos no) es a día de hoy del todo irrelevante.

De manera y por resumir brevemente:

1. Los planos son un tipo particular de mapas donde no tomamos en cuenta la curvatura de la Tierra.
2. Si el mapa está hecho a escala 1:2000 o superior es correcto hablar de planos.
3. Si el mapa está hecho a escala 1:10000 o inferior NO es correcto hablar de planos.
4. Si la escala está comprendida entre esos dos valores, haga lo que diga su jefe.
5. A día de hoy lo habitual es que tanto planos como mapas están georreferenciados.

¹ Los derechos de la imagen son del Centro Nacional de Información Geográfica.
² Sé que ésta es una definición muy simplificada de lo que es y de lo que puede hacer un SIG, pero a efectos de ilustrar esta entrada creo que es suficiente.

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (4)

Ya disfrutamos de la maravillosa velada entre Lord Napier y Henry Briggs, vimos del porqué de la necesidad de los logaritmos, sabemos como llegó Napier a ellos y hoy trataremos de ver como los calculó. Lo de probar su utilidad lo dejaremos para más adelante.

Vamos a retomar la historia justo donde la dejamos: en la definición que da Neper de logaritmo. Recordemos que hay dos puntos, uno moviéndose sobre el segmento αω, cuya longitud supondremos la unidad, a una velocidad decreciente, proporcional a la distancia que le resta hasta llegar a ω, y el otro moviéndose sobre la recta A a velocidad constante y que ambos salen al mismo tiempo y a la misma velocidad.

Para ver como Neper calculó sus tablas, que era en última instancia lo que Neper necesitaba y estaba buscando, dividió el segmento αω en 10.000.000 (diez millones) de partes recorrido en diez millones de instantes. Si en el primer momento la velocidad era igual a uno, tendríamos: $$\begin{gathered} \omega \;\gamma = 1 - \frac{1}{{{{10}^7}}} \\ \gamma \;\delta = \frac{1}{{{{10}^7}}}\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right) \\ \omega \;\delta = \omega \;\gamma - \gamma \;\delta = \left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right) - \frac{1}{{{{10}^7}}}\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right) = {\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right)^2} \\ \end{gathered}$$ De esta forma tenemos nuestras dos progresiones: una geométrica,
$$1 \;\;\;\; 1-\frac{1}{10^7} \;\;\;\; \left( 1-\frac{1}{10^7}\right) ^2 \;\;\;\; \left(1-\frac{1}{10^7}\right)^3$$
y otra aritmética,
$$0 \;\;\;\; \frac{1}{10^7} \;\;\;\; \frac{2}{10^7} \;\;\;\; \frac{3}{10^7}$$
Pero... si lo hacemos así habría que trabajar con fracciones; lo que Neper solucionó tomando como longitud del segmento αω igual a 10⁷ y no igual a uno, y además había que rellenar los huecos. Para hacerlo Neper se basó en:

Proposición 37 de Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (1620)

Aquí la traducción de la versión original:

De tres senos contiguos en proporción geométrica, así como el cuadrado del medio es igual al producto de los extremos, también los números artificiales¹ del doble del medio es igual a la suma de los extremos. De esta manera conocidos dos de estos números artificiales, el tercero resulta conocido

Hoy en día lo que hizo Neper lo explicaríamos de esta manera:

Proposición 1. En una progresión geométrica el cuadrado del término medio de tres consecutivos es igual al producto de los extremos:

$${a_n}^2= a_{n-1} \; a_{n+1}$$

Proposición 2. En una progresión aritmética el término medio de tres consecutivos es igual a la media de los extremos

$$b_n=\frac{b_{n-1} + b_{n+1}}{2}$$

Proposición 3. Si b_n-1 = log(a_n-1) y b_n+1 = log(a_n+1) entonces $$\frac{b_{n-1} + b_{n+1}}{2}=\log{\sqrt {a_{n-1} \times a_{n+1}}}$$

Con este artilugio, y otro similar, se pueden ir llenando los huecos restantes. Por ejemplo, supongamos que tenemos una progresión geométrica de la forma: $$1 \;\;\;\; 2 \;\;\;\; 2^2 \;\;\;\; 2^3 \;...$$ y su correspondiente progresión aritmética: $$0 \;\;\;\; 1 \;\;\;\; 2 \;\;\;\; 3 \; ...$$ de manera que $$ log(1) = 0 \\ log(2) = 1 \\ log(4) = 2 \\ log(8) = 3$$ Podemos hacer entonces:$$log(\sqrt{2 \times 4}) = log(2,82842712)\\log(\sqrt{2 \times 4}) = \frac{log(2) + log(4)}{2}=\frac{1 + 2}{2}=0,5$$y como por arte de birlibirloque rellenamos las progresiones geométrica y aritmética:$$1 \;\;\;\;  2 \;\;\;\; 2,82842712 \;\;\;\; 4 \;\;\;\; 8\;...\\ 0 \;\;\;\; 1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0,5 \;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\; 2 \;\;\;\; 3\;...$$De esta manera las tablas podrían rellenarse a base de ir haciendo raíces cuadradas, proceso que, aunque largo y tedioso, se podía hacer ayudado por el ábaco que desarrolló el propio Napier. Así el año en que murió Napier, 1617, ve la luz la obra de su buen amigo Henry Briggs, Logarithmorum chilias prima, que comprende los logaritmos de los números 1 a 1,000, con una precisión de 14 decimales. Sin duda uno de los libros más aburridos del mundo y, a la vez, uno de los más esperados.

Pero la historia aún no ha terminado... 


¹ Napier a lo largo de todo el texto de su libro llama a los logaritmos, números artificiales.

Bibliografía:
Historia de los logaritmos. Tapia Moreno, F. J.
El quehacer matemático. un recorrido por la historia. PARTE II: LA MATEMÁTICA EN EL SIGLO XVII. Pérez Delgado, J. M.
Tatón et al (1988). Historia General de las ciencias. Edit Orbis, Barcelona.
Logarithms: The Early History of a Familiar Function
The Logarithms, Its Discovery and Development
Historia de los logaritmos, Navegando entre números.
Las funciones logarítmica y exponencial Aguilar de Pérez, Lidilia (1981)
Ribnikov, K (1991) Historia de las matemáticas. Ed. MIR. Moscú

Del éxito, las matématicas divertidas, los huevos y otras mercedes (2)

Bruce Willis es un tipo que me cae francamente bien. No es que le conozca personalmente ni nada de eso, pero el ver como, a diferencia de otros actores y actrices, ha ido envejeciendo con dignidad y sin retoques, hace que le confiera un punto de dignidad que no le doy a otros. En una de sus películas, que la verdad no me gustan mucho, se enfrenta con un psicópata que va sembrando de bombas Nueva York facilitándole adivinanzas para desactivarlas. En una de éstas tiene que conseguir llenar una vasija con cuatro litros de agua utilizando una de tres y otra de cinco. Original, ¿verdad?. Pues no tanto, porque dicho problema nos lo plantea Pérez de Moya en un libro del que ya he hablado: Aritmética Práctica y Especulativa, en ¡¡1562!!.

El problema de cómo dividir 8 arrobas de vino, su solución y otro propuesto en la 1ªedición. (1562)

Nihil novum sub sole, que dirían los clásicos.

El libro está dividido en nueve partes:

1. Libro Primero: Trata de las cuatro especies o reglas generales de Aritmética, práctica por números enteros: conviene a saber: sumar, restar, multiplicar, partir¹.
2. Libro Segundo: Trata de números quebrados y de sus diferencias y operaciones.
3. Libro Tercero: Trata de la regla de tres y compañías y testamentos o partijas y finezas de oro y otras cosas tocantes al Arte que dicen menor.
4. Libro Cuarto: Trata algunas reglas de Geometría, práctica necesaria para el medir de las heredades.
5. Libro Quinto: Trata de la aritmética especulativa².
6. Libro Sexto: Trata de reglas para constar sin pluma y reducir unas monedas castellanas a otras.
7. Libro Séptimo:  En el que se pone un compendio de la regla de la cosa³ o arte mayor.
8. Libro Octavo:  Trata de algunos caracteres de cuentas, monedas y pesos antiguos, juntamente con unas reglas para sacar las fiestas que dicen móvibles.
9. Libro Nono: En el cual se pone un razonamiento en forma de diálogo; el argumento del cual es introducir a dos estudiantes, el uno que dice no haber necesidad de Aritmética, y tiene por opinión que no hay ninguno que sepa contar, teniendo buenos dineros. El otro alaba la Aritmética, y defiende lo contrario. En la plática de estos dos, se tocan y tratan algunos avisos agradables y necesarios.

Este último libro, conocido como los Diálogos de la Aritmética Práctica y Especulativa constituye no solo la primera colección de problemas de matemáticas recreativas que se publica un español⁴ si no que además es el primer intento de vulgarizar las matemáticas, de ponerlas al alcance del vulgo con un lenguaje claro y accesible. Pérez de Moya es el primer divulgador científico de este país, y visto lo visto, hasta podríamos decir el de mayor éxito; lo que por otra parte no deja de ser lamentable, que en casi quinientos años no hayamos sido capaces de tener una figura que pueda comparársele.

En fin, volviendo a lo que iba. Como todos habréis visto la película, estoy seguro que ya sabéis la solución así que os pongo otro que también figura en el mismo libro:

¿Cómo dividir diez arrobas de vino en dos partes iguales usando dos medidas de 3 y 7 arrobas respectivamente?

Lo he resuelto en nueve movimientos. ¿Alguien es capaz de hacerlo en menos?

Solución del problema anterior:

Por si a alguien se le ha olvidado, aquí tiene el enunciado del problema propuesto en un post anterior. Del mismo se deduce que al dividir el número de huevos (con perdón) entre 2, 3, 4, 5 y 6 el resto ha de ser 1 y que el número de huevos es 7. Como al dividir el número de huevos entre el mínimo común múltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6 también el resto tiene que ser uno, de la primera condición se sigue que:$$n = 60 x + 1$$ mientras que de la segunda:$$n = 7 y$$De donde:$$60 x + 1 = 7 y$$ siendo x, y números enteros y, además por la naturaleza de nuestro problema, mayores que cero.

Este tipo de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros, se conocen como ecuaciones diofánticas y reciben su nombre de Diofanto de Alejandría. No sabemos exactamente cuando nació, pero gracias a su epitafio sabemos que:

Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! la duración de su vida. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte, de vello se cubrieron sus mejillas. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.⁵

Genio y figura hasta la sepultura, que se dice en mi pueblo.

Para tranquilidad del personal no voy a entrar en detalles de como se resuelve la ecuación, quien tenga interés en como hacerlo tiene aquí y aquí dos buenos lugares donde aprender, y tan solo diré que en la cesta tiene que haber⁶: $$n = 301+ 420 λ$$ siendo λ un número entero. La primera solución es:$$n = 301$$ si bien, nuestra mujer también podría haber llevado 721 huevos, 1141 huevos ... (Manda huevos la cosa)

Pero podemos extraer una segunda y aún más valiosa lección. En su libro la respuesta que da es 721. La obtiene multiplicando 2 por 3 por 4 por 5 por 6 y sumándole uno, de suerte que el número resultante es  divisible entre 7. Aunque también acepta como buena la solución que he dado, si bien no indica como hallarla, y la solución es correcta, no lo es el procedimiento, porque fallaría en un enunciado del tipo:

El número de huevos al dividirlo entre 2 y entre 3 da uno, pero al dividirlo entre 5 el resto es cero .

Nada más lejos de mi intención que el criticar o cuestionar por esta nimiedad a Pérez de Moya, pero creo que de aquí podemos extraer una valiosa lección que enseñar a nuestros alumnos. Queremos hacerles creer no solo en la infalibilidad de las matemáticas, si no también en la de los matemáticos. Nada más lejos de la realidad. Los matemáticos, todos, también cometen errores. Los errores no nos conducen al fracaso, no son más que otro escalón en la escalera que nos lleva de la ignorancia al conocimiento.



¹ Dividir.
² Teórica.
³ Ecuaciones.
⁴ Hay una más que magnífica edición prologada y anotada por Rafael Rodríguez Vidal, publicada por la Universidad de Zaragoza en 1987, que es imprescindible para entender y apreciar los problemas que allí se cuentan. Aquí tenéis dónde os la podéis descargar: Diálogos de aritmética práctica y especulativa.
⁵ Gracias a Santa Wikipedia.
⁶ Solo consideramos las soluciones positivas.

Del tamaño y forma de la Tierra o cuán grande es nuestra casa (3).

Sabemos que los antiguos sabían que la Tierra era redonda y que los griegos, aunque fueron incapaces de ponerse de acuerdo en su valor, fueron los primeros en medir su radio.

En una época donde Occidente domina el mundo, nos puede costar entender que hubo un tiempo, no muy lejano, donde éramos vistos por las naciones civilizadas como unos miserables que no teníamos ni con que atarnos los zapatos. Conviene que tengamos esto presente porque la rueda de la fortuna no deja de girar y aquellos que hoy consideramos que solo saben hacer productos baratos, de baja calidad y comida de sabor indescriptible (que conste que ese no es mi caso ya que soy un auténtico devoto de la comida china), fueron en otro tiempo la primera potencia cultural y foco del saber mundial, porque hubo una época en la que hablar de China, no era hablar del todo a cien.

A principios del siglo VII Liu Zhuo solicitó¹ al Emperador Sui el equivalente a lo que hoy en día sería un proyecto de investigación: la medición de la longitud de la sombra proyectada por el sol durante los equinoccios en diferentes lugares situados a lo largo de la dirección norte-sur para poder determinar como variaba dicha longitud con la latitud (y por ende el valor del radio terrestre). Si bien el proyecto fue rechazado, durante la siguiente dinastía, la Tang (721-725), se organizaron dichas expediciones bajo la dirección del astrónomo real, Nankung Yiieh, y el monje budista Yi Xing, uno de los más célebres matemáticos y astrónomos de la época.

Curiosamente el hecho de medir esta variación indica que tanto Yi Xing como sus colegas daban por hecho la esfericidad de la Tierra, lo que estaba en armonía con algunas de las antiguas escuelas de la cosmología china, pero que generalmente no era aceptado por los científicos de su época.

Para poder realizar las mediciones se establecieron al menos once estaciones desde donde se realizaron mediciones simultáneas de la longitud de la sombra del sol, utilizando gnómones idénticos de ocho pies de altura. Las latitudes de dichas estaciones iban desde los 17º (Jiaozhou, en Vietnam) hasta los 40º (en Wei-ehou, una antigua ciudad cercana a la actual Lingchiu, próxima a la Gran Muralla en el norte de Shanxi y aproximadamente a la misma latitud que Beijing). Incluso habría otra estación aún más al norte, en las proximidades del lago Baikal, si bien no hay constancia de que desde allí se realizase ningún tipo de medición. Estamos hablando, por lo tanto, de un arco de meridiano de no menos de 3800 km de longitud. Las ubicaciones aproximadas de las estaciones se pueden ver en el mapa.

Figura 1. Ubicación aproximada de las estaciones

La mayor parte de ellas estaban en las llanuras situadas al norte y al sur del río Amarillo, había otra situada al norte de China y otras dos en el extremo sur, en Indochina. La más importante, el observatorio astronómico de Gaocheng está situada en las proximidades de la actual Dengfeng (provincia de Henan) y aún conserva el gnomon utilizado en las mediciones. Este lugar, con gran tradición astronómica y patrimonio de la humanidad, era considerado por los antiguos chinos el centro de la Tierra. Aquí tenéis una preciosa foto del gnomon, cortesía de la Organización de Cultura China.

Foto 1: Observatorio de Gaocheng

En cada estación se realizaron tres mediciones: la altura de la Polar, la longitud de la sombra proyectada por el sol durante el solsticio de verano y durante el solsticio de invierno, a fin de poder determinar con gran precisión tanto la latitud del lugar² como el incremento de la longitud de la sombra proyectada por el sol, al alejarnos en dirección norte o sur.

Y a todo esto, ¿cuáles fueron los resultados?

Los resultados de la expedición fueron que 1º era equivalente a 351 li 80 bu y que el incremento de la longitud de la sombra, al alejarnos en dirección norte o sur, era muy próxima a 10 cm por cada 1000 li, cuatro veces la cantidad aceptada por "los eruditos de los tiempos ancestrales".

¿A cuánto equivalía un li en metros? La respuesta es complicada porque el valor del li, como el resto de las medidas antiguas no era fijo y fue variando, como se nos cuenta en Porter (2000)³, en función de la dinastía reinante. El li utilizado parece haber sido una de las dos unidades de distancia habituales de la época, a saber, el "li normal corto Tang". En esa época un li era igual a 300 bu (un doble paso) y un bu era igual a 6 chi⁴. El chi es una medida antropométrica y, ¡sorpresa, sorpresa!, su valor también varia según la época y el lugar. De acuerdo con Wilkinson (2000) el chi de la época Han era igual a 23,1 cm; mientras que el de la época Tang era igual a 30,1 cm, pero según Beeer et al (1961) la longitud del chi corto es de 24,6 cm.

En resumen:

1 li = 300 bu
1 bu = 6 chi
1 chi = 23,1 cm - 30,1 cm

lo que nos da un rango de valores para el li comprendido entre los 415,8 m y los 541,8 m de longitud.

La longitud de un arco de meridiano de una amplitud de un grado, variaría entre los 146,0 km y los 190,3 km; lo que nos daría una longitud de circunferencia comprendida entre los 52580 km y los 68514 km y un radio terrestre comprendido entre los 8368 km y los 10904 km.

Pero aún hay más...

A finales del siglo XVII los intercambios culturales y comerciales entre China y Occidente se estaban intensificando y los avances científicos del Renacimiento europeo eran conocidos en China gracias, fundamentalmente, a la labor de los misioneros jesuitas. De hecho uno de ellos, el belga Antoine Thomas, sugirió al emperador Kangxi la utilización del grado del meridiano terrestre como unidad de longitud. La idea fructificó y los trabajos comenzaron en 1702 erigiéndose gnómones en las planicies situadas al sur de Beijing.  El resultado fue que un grado de arco meridiano se correspondía a 195 li 6 bu de la época y se materializó en una barra de hierro de 5 chi de longitud guardada en el Palacio imperial, que se convertiría en el paso imperial. El emperador Kangxi redondeó la cifra, de manera que, según nos cuenta D'Anville en su obra Traité des mesures itinéraires anciennes et modernes⁴,

Figura 2. Definición del li en términos astronómicos

se fija el valor del grado de meridiano terrestre en 200 li, adelantándose así en casi cien años a Occidente en la determinación de una forma objetiva de una unidad de medida ligada al tamaño de la Tierra y no al ser humano.


Nota aclaratoria: La mayor parte de este post no es más que una adaptación de Beer et al (1961), aderezado con Wilkinson (2000) y salpimentado con Wikipedia. Además me ha resultado un agradable placer descubrir el trabajo de Guangming Qiu. Os recomiendo la lectura de la entrevista que bajo el título Chinese metrology, le realizaron en IOP Asia-Pacific.



¹ "We beg Your Majesty to appoint water-mechanics and mathematicians to select a piece of flat country in Itonan and Hopeh, which can be measured over a few hundred li, to choose a true North-South line, to determine the time with water- clocks, to [set up gnomons] on flat places [adjusting them with] plumb-lines, to follow seasons, solstices and equinoxes, and to measure the shadow of the Sun [at different places] on the same day. From the differences in these shadow-lengths the distance in li can be known. Thus the Heavens and the Earth will not be able to conceal their form and the celestial bodies will not prevent us from knowing their measurements."

² Prometo algún día explicar cómo hacerlo.

³ Ver las tablas 17 y 18 en las páginas 237 y 238 de Chinese History: A Manual por Endymion Porter Wilkinson,  Harvard Univ. Asia Center (2000)

⁴ Un chi se define como la distancia, con la mano extendida, entre la punta del índice y del pulgar, y no un pie, habitual y erróneamente se ha traducido³ (Porter, 2000). La medida equivalente más similar en occidente sería el palmo. En mi caso un chi sería igual a 22 cm.

⁴ Mémoires de littérature, tirés des registres de l'Académie royale des inscriptions et belles-lettres (1761) Vol 28, p. 487

Fuentes:
Beer, A. et al. (1961), An 8th-century meridian line: I-Hsing's chain of gnomons and the pre-history of the metric system. Vistas in Astronomy 4: 3–28.

Endymion Porter Wilkinson, E. P. (2000), Chinese History: A Manual. Harvard Univ. Asia Center.

Observatorio Astronómico de Gaoecheng.
Surveying of the Meridian

Del éxito, las matématicas divertidas, los huevos y otras mercedes.

Recuerdo que hace años en un programa de TV iban preguntando a la gente por la calle si les gustaría ser famosos. Hubo, como podéis imaginaros, respuestas de todo tipo aunque lo que más llamó la atención fue que nadie preguntase:

- Famoso, ¿por qué?

Porque claro, digo yo, que no es lo mismo ser famoso por haber descubierto la cura contra el cáncer que ser famoso por haberte pasado por la piedra hasta al gato de la Marujita Diez. Además solemos asumir que ser famoso es lo mismo que tener éxito y, lamentablemente, el tener éxito no es siempre algo bueno. Como ejemplo traigo a estas líneas al Bachiller Pérez de Moya (Santisteban del Puerto (Jaén) 1513 - Granada, 1597), matemático español del siglo XVI. Su principal obra: Aritmética práctica y especulativa conoció la friolera de, al menos, quince ediciones y fue libro obligado de texto desde su publicación en 1562 hasta principios del siglo XIX (la última edición es de 1798). No sé muy bien qué indica el hecho de que un libro esté vigor durante casi 250 años, porque más allá de su indudable calidad, el hecho de que pese a todos los avances registrados en el campo de las matemáticas durante esos años nadie se atreviera a escribir un nuevo tratado de aritmética, demuestra que el estado de languidez de la ciencia española no es un problema de hoy en día.

Pérez de Moya fue, además, un incansable divulgador de las matemáticas y plantea, en forma de diálogo, problemas que entran de ello en el campo de la matemática recreativa. Y en última instancia de eso va el post de hoy, porque de algunas cosas curiosas que me he encontrado en el libro ya hablaré otro día:

Señores y señoras, con Uds. el Bachiller Pérez de Moya:

La solución, próximamente.

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (3)

Ya disfrutamos de la maravillosa velada entre Lord Napier y Henry Briggs y se planteó la necesidad de los logaritmos. El cómo llegó Napier a ellos, cómo los calculó y probar cual es su utilidad son tareas que aún tenemos pendientes.

En el capítulo anterior ya vimos como relacionando una progresión geométrica con una aritmética podíamos convertir una multiplicación en una suma. El procedimiento funciona bien para cantidades discretas pero nos quedaba resolver el problema de rellenar los huecos.

Zenón planteó una serie de paradojas en las que demostraba que el movimiento no era posible. Por ejemplo en una de las variantes de la paradoja de Aquiles, el de los pies ligeros, y la tortuga, Aquiles no puede alcanzar a la tortuga, ya que ni siquiera puede ponerse en movimiento, porque antes de recorrer el tramo que le dio en ventaja, tendría que haber recorrido la mitad de ese tramo y antes de ese, la cuarta parte y antes la octava y así sucesivamente.

Demos ahora un giro a esta historia y pongamos a Aquiles sobre un segmento y a la tortuga sobre una recta. Los dos parten a la vez desde el punto A y a la misma velocidad. La tortuga se mueve a velocidad uniforme, pero Aquiles, al que castigó Hermes por su soberbia, se ve obligado a moverse cada vez más despacio a una velocidad proporcional a la distancia que le separa del final del segmento. El movimiento, como muestra la figura, ha de ser sincrónico de manera que cuando la tortuga llegue al punto C, Aquiles llegaría a γ, cuando la tortuga llegase a D, Aquiles llegaría a δ y así sucesivamente. Como veréis Aquiles está condenado a acercarse todo lo que quiera al final del segmento, pero nunca llegará a alcanzarlo.

Figura 1: Movimiento sincrónico sobre las dos rectas

Vaya por delante que la historia de Aquiles es de mi cosecha y que Napier no la nombra en ningún momento, pero como el blog es mío me tomo las licencias poéticas que me apetecen.

Este es el símil cinemático que utilizó Napier y que le permitió obviar el problema de la continuidad. Quizás lo veréis mejor si en vez de situar las rectas paralelas las disponemos una perpendicular a la otra estando Aquiles en el eje X y la tortuga en el eje Y. Los puntos indican donde donde tienen que coincidir los dos y la línea roja la unión suave entre dichos puntos. Seguro que esta figura les resulta familiar a muchos:

Figura 2: Movimiento sincrónico sobre las dos rectas situadas perpendicularmente la una a la otra.

Para entender como define Napier los logaritmos tenemos que remontarnos a lo que se estaba buscando: una forma sencilla de operar con senos y cosenos. Por esa razón Napier hace recorrer a Aquiles el seno de un ángulo¹ que es un segmento, el sinus totus, de longitud arbitraria e igual a 10.000.000, mientras que la tortuga, despacio pero segura, recorre su línea recta a velocidad constante, de manera que para cualquier instante la distancia que le falta por recorrer a Aquiles para llegar al final del segmento es el seno y la distancia recorrida por la tortuga en el mismo tiempo es el logaritmo del seno. En consecuencia, mientras los senos decrecen en proporción geométrica, el logaritmo de Napier crece en proporción aritmética. La figura 3 muestra lo que entendía Napier por el logaritmo del seno.

Figura 3. La definición de logaritmo según Neper

La figura 4 muestra lo mismo pero de una forma a la que quizás estemos más acostumbrados.

Figura 4: La definición de logaritmo según Neper representada en forma moderna

Ahora si que estamos en condiciones de rellenar los huecos y de asistir a los retoques que permitirán dejar a los logaritmos tal y como los conocemos hoy en día; pero como ya estoy cansado, lo dejo para más adelante.

¹ Pero ¡ojo!, no el seno tal como lo entendemos nosotros hoy en día si no tal y como se entendía en la época de Neper.

Bibliografía:

Logarithms: The Early History of a Familiar Function

The Logarithms, Its Discovery and Development

Las funciones logarítmica y exponencial por Aguilar de Pérez, Lidilia (1981)