miércoles, 26 de noviembre de 2014

Algunas curiosidades que nunca te contó tu profe de mates.

Estando un día con mi hija Carmen en brazos se nos acercaron unos turistas y me puse a hablar con ellos en inglés. En esto llega mi mujer y mi hija, muy seria, le dice:
Mamá... Papá habla raro.
Desde pequeños, estoy tratando de meterles en la cabeza a mis hijos la importancia de saber idiomas para poder entenderse, sin ayuda de nadie, en el idioma original de tu interlocutor. El más que sabido traduttore—traditore ha dado lugar a numerosas anécdotas y las matemáticas tampoco iban a librarse de ellas. Como ya conté aquí, el mundo occidental empezó a tener noticia de las funciones trigonométricas a partir de las traducciones realizadas por Robert de Ketton (o Chester), quien en el 1145 tradujo en Segovia1 la célebre obra de al-Jwarizmi  Hisab al-Yabr wa' l-Mukabala, considerado el primer libro de álgebra. A la hora de traducir, el árabe es un idioma especialmente jodido porque al escribirlo es muy común omitir las vocales cortas y el significado de la palabra ha de deducirse del contexto. Así dicho el bueno de Roberto se encontró con el término:
jb
y tuvo que ponerle, como si estuviese jugando a la Ruleta de la Fortuna, las vocales apropiadas. No sabemos si fue por pereza o porque se estaba aficionado en exceso al cochinillo y al buen vino, pero el hecho es que Don Roberto no se molestó de buscar en Google, porque si lo hubiera hecho se habría encontrado con...

En el común de Occidente las únicas aportaciones dignas de mención que le otorgamos a los hindúes es el descubrimiento del cero y la invención del ajedrez. Naturalmente la realidad es mucho más amplia, ya que la matemática hindú hizo un aporte esencial sin la cual las matemáticas no hubiesen podido desarrollarse. Hablo de la numeración posicional. En el sistema de numeración romana L es siempre cincuenta; X, diez o I, uno. Así por ejemplo LXII equivale a nuestro a 62, y CLXII equivale a 162. Los matemáticos hindúes desarrollan un sistema de numeración en el que el valor de cada número varía con la posición que ocupe. Así un 2 escrito en la segunda posición vale diez veces más que escrito en la primera. Los matemáticos hindúes son, por lo tanto, los inventores del sistema de numeración posicional en base 10 y hacia el 595 d. C. aparece escrita en notación decimal en un plato la fecha del año 346. Pero aún hay más...

En el siglo II a. C Hiparco de Nicea había desarrollado una tabla de cuerdas para poder resolver triángulos. Dicha tabla debió de pasar, probablemente a través de la escuela alejandrina, a los matemáticos hindúes, quienes tradujeron cuerda con el término sánscrito jya, que a su vez deriva del termino cuerda del arco2. En algún momento decidieron que sería más práctico trabajar con la mitad de la cuerda (ardha-jya o jya-ardha), y así es como nos lo encontramos en los textos de Aryabhata pero el personal, que aquí y en la India, es bastante perro siguió utilizando el tradicional jya. Cuando los árabes toman prestado el término, lo aproximan por jyla y fonéticamente deriva en el árabe jiba, que escrito queda:
jb
Esta fue la situación en la que se encontró Don Roberto quien acosado por la necesidad, compró vocales y compuso el término:
jaib
que significa: bahíagolfo3 que en latín se dice sinus.

La etimología del resto de los términos trigonométricos es más aburrida. El término coseno lo introdujo John Newton a partir de una modificación del término co.sinus sugerido Edmund Gunter en 1.620. A su vez este término no es más que una abreviación de "seno del ángulo complementario"

Por último los términos tangente y secante los introdujo Thomas Fincke en 1583 y hacen referencia a su significado geométrico clásico: tocar en un puntocortar. Lo dicho, un rollo.





1 En aquella época las zonas fronterizas entre España cristiana y musulmana sirvieron como foco de atracción de traductores de todos los países, ya que era el lugar de paso del conocimiento entre el mundo musulmán, mucho más avanzado por aquel entonces, y el cristiano.
2 Aquí arco hace referencia al arma.
3 Aquí golfo hace referencia al accidente geográfico.

Fuentes
Matemática hindú
La matemática hindú
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.

martes, 18 de noviembre de 2014

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (2)

Esta es la entrada donde comencé a hablar de la aburrida maravillosa historia de los logaritmos. Terminé con la primera definición que Napier daba en su libro, por lo que, en buena ley, ahora correspondería continuar con más definiciones, llegar a la definición de logaritmo y terminar con la correspondiente caterva de proposiciones, teoremas y corolarios... justo lo que hace que las matemáticas sean odiadas por la mayor parte del género humano. Así que vamos a darle un pequeño giro y comenzaremos, como no podía de ser de otra forma, por el principio del principio, aunque para ello tengamos que retroceder un poco en el tiempo, aproximadamente hasta el 8500 a. C. en los albores del Neolítico.
El Neolítico marca el momento en que el hombre deja de ser nómada para convertirse en sedentario: es el inicio de la domesticación de los animales, lo que dará lugar al pastoreo, del pastoreo, la agricultura, la cerámica y los primeros poblados (lo que llevaría, años más tarde, a la burbuja inmobiliaria). El sedentarismo conlleva además la necesidad de saber cuándo hay que sembrar, cuándo van a migrar los animales, para adelantarse a sus movimientos, anticipar las crecidas e inundaciones... y todo ello se consigue con el gran reloj natural que son las estrellas. No es de extrañar, por lo tanto, que la astronomía fuera de las primeras ciencias que se desarrollasen y de su mano vienen la trigonometría plana y la esférica.

Vista aérea de Stonehenge, obtenida de Google Earth.

Así la trigonometría era ya conocida por babilonios y egipcios, quienes establecen el sistema sexagesimal. En la antigua Grecia, en el siglo II a. C., Hiparco de Nicea construye una tabla de senos para la resolución de triángulos. Conviene señalar que su definición de seno, no coincidía con la moderna (cateto opuesto dividido entre la hipotenusa). Ellos definían el seno (ver dibujo) como la mitad de la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio R arbitrario.
Definición de seno de un ángulo
También en la época de Napier el seno se consideraba como un segmento. y al radio r se le denominaba "sinus Totus". En sus cálculos Napier utilizará un radio igual a 10 000 000.
También los matemáticos hindúes y árabes trabajaron con las funciones trigonométricas y a finales del siglo X habían completado las restantes funciones trigonométricas (coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente) y habían enunciado los principales teoremas y fórmulas de la trigonometría, tanto de la plana como de la esférica. Habría que esperar hasta el siglo XII para que Occidente comenzase a enterarse de que va la copla, gracias a las traducciones de libros de astronomía árabes, que aparecen en el siglo XII.
Aunque cueste creerlo en el siglo XI los habitantes de Jaén, disponían de baños públicos con piscinas de agua fría y caliente. En la misma época, en el norte de la Península y los antepasados de la señora Merkel se bañaban cuando el coyote cogía al correcaminos.
Todo comienza a cambiar con la llegada del Renacimiento, aunque cuando la cosa comienza realmente calentarse es con el Descubrimiento de América. La navegación impulsa el desarrollo de numerosos campos, produciendo a finales del siglo XVI una auténtica explosión de en todos los saberes relacionados con la ciencia y la tecnología. Astronomía, ingeniería naval, cartografía matemática, geodesia,... todos tienen algo en común necesitan cálculos, cálculos y más cálculos y además suficientemente exactos, lo que a su vez se traduce en la búsqueda de nuevos métodos para calcular más rápidamente y con mayor precisión. Acaba de nacer el arte de la computación (y de ahí a las calculadoras e internet no hay más que un paso). De manera que parece natural que se comenzaran a buscarse sistemas que permitiesen sustituir procesos complicados como la multiplicación o división por otros más sencillos como la suma y la resta. A este procedimiento se le denomina prostaféresis1 (19 puntos, más los correspondientes bonus, en el Scrabble).
Un buen ejemplo de esto es la igualdad:
que fue la que probablemente la que llevó a Napier a trabajar inicialmente con senos, lo que además estaba plenamente justificado porque su idea original era la de facilitar los cálculos trigonométricos a los astrónomos y, ya puestos, alegrarles un poco su vida2.
En resumen a finales del siglo XVI hay una necesidad imperante de hacer cálculos complejos de todo tipo, especialmente trigonométricos, de una forma rápida y precisa y en el horizonte la única idea que aparece como viable, a falta de las calculadoras electrónicas, es sustituir las multiplicaciones por sumas. La pregunta del millón es:
¿Alguien sabe cómo?
Aunque parezca mentira ya se había dado un primer paso. Naturalmente para llegar a él hay que volver a viajar en en el tiempo, unos 2000 atrás aproximadamente, hasta llegar a Aristóteles que en los pocos ratos que Alejandro le dejaba libre, se dedicaba a estudiar cosas tan curiosas como esta:
Escribamos en una fila las potencias de 2 y debajo los números naturales3.
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
9192
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Si ahora queremos multiplicar 16 por 128

1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
9192
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

basta con sumar 4 + 7 = 11, para obtener el resultado (2048) buscado. Ahora bien, ¿cómo haríamos con esta misma tabla para multiplicar 3 por 5 9? La genialidad de Napier consistió, precisamente, es saber como rellenar esos huecos.
Como en aquella época aún no se había establecido el concepto de continuidad de una función4, Napier utiliza un símil cinemático: el movimiento sincrónico de dos puntos. Sitúa el primero sobre una recta moviéndose a velocidad constante, mientras que el otro se desplaza sobre un segmento a una velocidad decreciente proporcional a la distancia que le resta por recorrer. No está claro5 como se le ocurrió a Neper la idea, pero me gusta imaginar que lo que hizo fue darle un giro a la conocida paradoja de Zenón del veloz Aquiles y la tortuga. En ambos casos tenemos dos corredores, uno de ellos corriendo a una velocidad constante (la tortuga / el logaritmo) y otro corriendo sobre un recorrido que sigue una suerte de progresión geométrica decreciente (Aquiles  / el seno). Aquiles, en la paradoja, necesitaría un tiempo infinito para coger a la tortuga, pero como aquí lo que queremos es que los dos vayan a la par, ahora lo que tendrá que ser infinito será el camino recorrido por la tortuga / el logaritmo.
Mañana, más.




1 Término compuesto de dos palabras griegas: prosthesis (πρόσθεσις) y aphairesis (ὰφαίρεσις) que significan adición y sustracción, dos de los pasos del proceso.

2 De ahí que Laplace afirmarse, no sin cierta exageración, que:
"Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos".
3 Progresiones geométricas y aritméticas respectivamente. Si la gente supiese ver la diferencia entre ellas nos ahorraríamos todos los timos piramidales y la burbuja inmobiliaria.

4 El concepto de continuidad lo estableció Bolzano en 1781.

5 Lord Moulton en la lección inaugural, "La invención del logaritmo, su génesis y evolución", del Congreso que se celebró en Edimburgo en 1915 con motivo del tricentenario de la invención de los logaritmos escribió:
"The invention of logarithms came on the world as a bolt from the blue. No previous work had led up to it, nothing had foreshadowed it or heralded its arrival. It stands isolated, breaking in upon human thought abruptly without borrowing from the work of other intellects or following known lines of mathematical thought ".

El invento de los logaritmos vino al mundo como salido de la nada. Ningún trabajo previo condujo a él, nada lo presagió, ni anunció su llegada. Es algo aislado, que se introduce en el pensamiento humano abruptamente sin tomar nada prestado del trabajo de otros intelectos o siguiendo líneas conocidas del pensamiento matemático.




Bibliografía:
AGULAR PÉREZ, Lidilla. Las funciones logarítmica y exponencial.
CLARK, K. M y MONTELLE, C. Logarithms: The Early History of a Familiar Function.
Math Forum. The Logarithms, Its Discovery and Development.
MOULTON Lord, et al. Napier tercentenary memorial volume.
PÉREZ DELGADO, Juan Manuel. El que hacer matemático. Un recorrido por la historia. Parte II: La matemática en el siglo XVII.
TAPIA MORENO, Francisco Javier. Historia de los Logaritmos. Apuntes de la Historia de las matemáticas. Vol 2. nº 2.

martes, 11 de noviembre de 2014

Del tamaño y forma de la Tierra o cuán grande es nuestra casa.

El 19 de julio de 1808 tuvo lugar un acontecimiento histórico:  por primera vez es derrotado en batalla campal el ejército napoleónico. Dicha batalla tuvo lugar en Bailén, situada a unos 40 km al norte de Jaén y a unos 300 km al sur de Madrid. Bailén es también tierra de alfareros, ya saben esos señores que colocan barro sobre un torno y al hacerlo girar van dando forma a una vasija, botijo,... Cualquiera que haya visto un torno en funcionamiento, verá como la masa de barro, con independencia de su forma inicial, va poco a poco convirtiéndose en una esfera, eso sí, achatada por los polos y abultada por el ecuador. Ese hecho le llevo a Newton a postular que esa debería ser la forma de la Tierra. Por otra parte Clairaut, a partir de una serie de medidas de tipo geodésico apostaba a que la forma de la Tierra sería una esfera, pero aplastada por el ecuador.

El saber la forma exacta de la Tierra y el lugar que ocupa en el universo es algo que ha preocupado al hombre desde que vivía bajo de los árboles. Los primeros pobladores lo tenían muy claro: si vivían en una isla, el mundo era una isla rodeada de agua, si vivían en tierra el mundo no era más que una inmensa llanura. Naturalmente hubo quien preguntó por primera vez donde se apoyaba semejante planicie y en ese mismo instante comenzaron los problemas.

Representación de la Tierra según los hindúes.1


Los hindúes respondieron que la Tierra, evidentemente plana, se apoyaba en cuatro pilares.

P: ¿Y dónde se apoyaban los pilares?
R: Ésta es fácil: los pilares los sujetaban elefantes.


P: ¿Y quien sujeta a los elefantes?
R: Ésta también: Los elefantes descansan en una tortuga.


P: ¿Y la tortuga?
R: ¿Sabe qué ya está empezando a cansarme?. La tortuga nada sobre un gigantesco océano


P: ¿Y que hay debajo del océano?.
R: SE ACABÓ.

Supongo que alguien hizo esa pegunta alguna vez y que la respuesta fue tan convincente que desde ese momento nadie más volvió a hacer la pregunta.

La realidad es que las cosmogonías de casi todas las culturas han sido bastante similares: una Tierra plana apoyándose en cuatro pilares/gigantes/elefantes/guerreros, acompañada con un número variable de mundos y sus correspondientes cielo/infierno donde íbamos a parar después de nuestra vida en este mundo en función de nuestros méritos.

El primer cambio significativo acerca de la forma de la Tierra surge en Grecia en el s VI a.C. con Anaximandro de Mileto, filósofo jonio, quien postuló que la Tierra era un inmenso cilindro curvado en la dirección norte-sur, pues lo primero que se ve de un barco al aparecer por el horizonte es el velamen, cosa que no ocurriría si la Tierra fuese plana. El siguiente paso lógico fue darse cuenta que como ese fenómeno ocurría con independencia de la dirección que llevase el barco, la Tierra debería ser una esfera. Además la sombra que proyecta la Tierra durante un eclipse es siempre un círculo y la única figura cuya proyección es siempre un círculo es la esfera.

En resumen alrededor del siglo VI a.C surge, en la antigua Grecia, el concepto de Tierra esférica, concepto que es aceptado como realidad física en el s. II a. C. cuando Erastótenes mide el radio de la circunferencia terrestre demostrando así la esfericidad de la misma.

De manera que cuando Colón decide vender su proyecto de viaje a las Indias en dirección oeste a portugueses, primero, y a castellanos después, ya se  sabía más que de sobra que la Tierra era redonda. Frente a la creencia popular de que el proyecto se rechaza porque unos y otros creían que la Tierra era plana, es una solemne tontería. El proyecto se rechaza porque Colón es un tramposo. A la hora de presentar su idea Colón tiene sumo cuidado de elegir de todos los posibles radios de la Tierra que se habían calculado el más pequeño posible, para que nos hagamos una idea situó a Japón en Cuba, y de todos los recorridos que llegaban a la India bordeando África por el Cabo de las Tormentas Buena Esperanza elige el mayor de los posibles porque esta era la única manera posible de que le cuadrasen los cálculos.

Un vez que la circunnavegación terrestre llevada a cabo por Magallanes y Elcano (1519-1521) demuestra fehaciente la esfericidad de la Tierra, queda por ver cuáles son sus dimensiones exactas.

Pero eso mejor lo dejamos para otro día.



1 Este dibujo está sacado de aquí.