El Neolítico marca el momento en que el hombre deja de ser nómada para convertirse en sedentario: es el inicio de la domesticación de los animales, lo que dará lugar al pastoreo, del pastoreo, la agricultura, la cerámica y los primeros poblados (lo que llevaría, años más tarde, a la burbuja inmobiliaria). El sedentarismo conlleva además la necesidad de saber cuándo hay que sembrar, cuándo van a migrar los animales, para adelantarse a sus movimientos, anticipar las crecidas e inundaciones... y todo ello se consigue con el gran reloj natural que son las estrellas. No es de extrañar, por lo tanto, que la astronomía fuera de las primeras ciencias que se desarrollasen y de su mano vienen la trigonometría plana y la esférica.
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| Vista aérea de Stonehenge, obtenida de Google Earth. |
Así la trigonometría era ya conocida por babilonios y egipcios, quienes establecen el sistema sexagesimal. En la antigua Grecia, en el siglo II a. C., Hiparco de Nicea construye una tabla de senos para la resolución de triángulos. Conviene señalar que su definición de seno, no coincidía con la moderna (cateto opuesto dividido entre la hipotenusa). Ellos definían el seno (ver dibujo) como la mitad de la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio R arbitrario.
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| Definición de seno de un ángulo |
También en la época de Napier el seno se consideraba como un segmento. y al radio r se le denominaba "sinus Totus". En sus cálculos Napier utilizará un radio igual a 10 000 000.También los matemáticos hindúes y árabes trabajaron con las funciones trigonométricas y a finales del siglo X habían completado las restantes funciones trigonométricas (coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente) y habían enunciado los principales teoremas y fórmulas de la trigonometría, tanto de la plana como de la esférica. Habría que esperar hasta el siglo XII para que Occidente comenzase a enterarse de que va la copla, gracias a las traducciones de libros de astronomía árabes, que aparecen en el siglo XII.
Aunque cueste creerlo en el siglo XI los habitantes de Jaén, disponían de baños públicos con piscinas de agua fría y caliente. En la misma época, en el norte de la Península y los antepasados de la señora Merkel se bañaban cuando el coyote cogía al correcaminos.Todo comienza a cambiar con la llegada del Renacimiento, aunque cuando la cosa comienza realmente calentarse es con el Descubrimiento de América. La navegación impulsa el desarrollo de numerosos campos, produciendo a finales del siglo XVI una auténtica explosión de en todos los saberes relacionados con la ciencia y la tecnología. Astronomía, ingeniería naval, cartografía matemática, geodesia,... todos tienen algo en común necesitan cálculos, cálculos y más cálculos y además suficientemente exactos, lo que a su vez se traduce en la búsqueda de nuevos métodos para calcular más rápidamente y con mayor precisión. Acaba de nacer el arte de la computación (y de ahí a las calculadoras e internet no hay más que un paso). De manera que parece natural que se comenzaran a buscarse sistemas que permitiesen sustituir procesos complicados como la multiplicación o división por otros más sencillos como la suma y la resta. A este procedimiento se le denomina prostaféresis1 (19 puntos, más los correspondientes bonus, en el Scrabble).
Un buen ejemplo de esto es la igualdad:
En resumen a finales del siglo XVI hay una necesidad imperante de hacer cálculos complejos de todo tipo, especialmente trigonométricos, de una forma rápida y precisa y en el horizonte la única idea que aparece como viable, a falta de las calculadoras electrónicas, es sustituir las multiplicaciones por sumas. La pregunta del millón es:
¿Alguien sabe cómo?
Escribamos en una fila las potencias de 2 y debajo los números naturales3.
1
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2
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4
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8
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16
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32
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64
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128
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256
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512
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1024
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2048
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4096
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9192
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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11
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12
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Si ahora queremos multiplicar 16 por 128
1
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2
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4
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8
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16
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32
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64
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128
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512
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4096
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9192
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0
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1
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3
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4
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5
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7
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8
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9
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10
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11
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12
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13
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basta con sumar 4 + 7 = 11, para obtener el resultado (2048) buscado. Ahora bien, ¿cómo haríamos con esta misma tabla para multiplicar 3 por
Como en aquella época aún no se había establecido el concepto de continuidad de una función4, Napier utiliza un símil cinemático: el movimiento sincrónico de dos puntos. Sitúa el primero sobre una recta moviéndose a velocidad constante, mientras que el otro se desplaza sobre un segmento a una velocidad decreciente proporcional a la distancia que le resta por recorrer. No está claro5 como se le ocurrió a Neper la idea, pero me gusta imaginar que lo que hizo fue darle un giro a la conocida paradoja de Zenón del veloz Aquiles y la tortuga. En ambos casos tenemos dos corredores, uno de ellos corriendo a una velocidad constante (la tortuga / el logaritmo) y otro corriendo sobre un recorrido que sigue una suerte de progresión geométrica decreciente (Aquiles / el seno). Aquiles, en la paradoja, necesitaría un tiempo infinito para coger a la tortuga, pero como aquí lo que queremos es que los dos vayan a la par, ahora lo que tendrá que ser infinito será el camino recorrido por la tortuga / el logaritmo.
Mañana, más.
1 Término compuesto de dos palabras griegas: prosthesis (πρόσθεσις) y aphairesis (ὰφαίρεσις) que significan adición y sustracción, dos de los pasos del proceso.
2 De ahí que Laplace afirmarse, no sin cierta exageración, que:
"Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos".3 Progresiones geométricas y aritméticas respectivamente. Si la gente supiese ver la diferencia entre ellas nos ahorraríamos todos los timos piramidales y la burbuja inmobiliaria.
4 El concepto de continuidad lo estableció Bolzano en 1781.
5 Lord Moulton en la lección inaugural, "La invención del logaritmo, su génesis y evolución", del Congreso que se celebró en Edimburgo en 1915 con motivo del tricentenario de la invención de los logaritmos escribió:
"The invention of logarithms came on the world as a bolt from the blue. No previous work had led up to it, nothing had foreshadowed it or heralded its arrival. It stands isolated, breaking in upon human thought abruptly without borrowing from the work of other intellects or following known lines of mathematical thought ".
El invento de los logaritmos vino al mundo como salido de la nada. Ningún trabajo previo condujo a él, nada lo presagió, ni anunció su llegada. Es algo aislado, que se introduce en el pensamiento humano abruptamente sin tomar nada prestado del trabajo de otros intelectos o siguiendo líneas conocidas del pensamiento matemático.
Bibliografía:
AGULAR PÉREZ, Lidilla. Las funciones logarítmica y exponencial.
CLARK, K. M y MONTELLE, C. Logarithms: The Early History of a Familiar Function.
Math Forum. The Logarithms, Its Discovery and Development.
MOULTON Lord, et al. Napier tercentenary memorial volume.
PÉREZ DELGADO, Juan Manuel. El que hacer matemático. Un recorrido por la historia. Parte II: La matemática en el siglo XVII.
TAPIA MORENO, Francisco Javier. Historia de los Logaritmos. Apuntes de la Historia de las matemáticas. Vol 2. nº 2.
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