Del éxito, las matématicas divertidas, los huevos y otras mercedes.

Recuerdo que hace años en un programa de TV iban preguntando a la gente por la calle si les gustaría ser famosos. Hubo, como podéis imaginaros, respuestas de todo tipo aunque lo que más llamó la atención fue que nadie preguntase:

- Famoso, ¿por qué?

Porque claro, digo yo, que no es lo mismo ser famoso por haber descubierto la cura contra el cáncer que ser famoso por haberte pasado por la piedra hasta al gato de la Marujita Diez. Además solemos asumir que ser famoso es lo mismo que tener éxito y, lamentablemente, el tener éxito no es siempre algo bueno. Como ejemplo traigo a estas líneas al Bachiller Pérez de Moya (Santisteban del Puerto (Jaén) 1513 - Granada, 1597), matemático español del siglo XVI. Su principal obra: Aritmética práctica y especulativa conoció la friolera de, al menos, quince ediciones y fue libro obligado de texto desde su publicación en 1562 hasta principios del siglo XIX (la última edición es de 1798). No sé muy bien qué indica el hecho de que un libro esté vigor durante casi 250 años, porque más allá de su indudable calidad, el hecho de que pese a todos los avances registrados en el campo de las matemáticas durante esos años nadie se atreviera a escribir un nuevo tratado de aritmética, demuestra que el estado de languidez de la ciencia española no es un problema de hoy en día.

Pérez de Moya fue, además, un incansable divulgador de las matemáticas y plantea, en forma de diálogo, problemas que entran de ello en el campo de la matemática recreativa. Y en última instancia de eso va el post de hoy, porque de algunas cosas curiosas que me he encontrado en el libro ya hablaré otro día:

Señores y señoras, con Uds. el Bachiller Pérez de Moya:

La solución, próximamente.

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (3)

Ya disfrutamos de la maravillosa velada entre Lord Napier y Henry Briggs y se planteó la necesidad de los logaritmos. El cómo llegó Napier a ellos, cómo los calculó y probar cual es su utilidad son tareas que aún tenemos pendientes.

En el capítulo anterior ya vimos como relacionando una progresión geométrica con una aritmética podíamos convertir una multiplicación en una suma. El procedimiento funciona bien para cantidades discretas pero nos quedaba resolver el problema de rellenar los huecos.

Zenón planteó una serie de paradojas en las que demostraba que el movimiento no era posible. Por ejemplo en una de las variantes de la paradoja de Aquiles, el de los pies ligeros, y la tortuga, Aquiles no puede alcanzar a la tortuga, ya que ni siquiera puede ponerse en movimiento, porque antes de recorrer el tramo que le dio en ventaja, tendría que haber recorrido la mitad de ese tramo y antes de ese, la cuarta parte y antes la octava y así sucesivamente.

Demos ahora un giro a esta historia y pongamos a Aquiles sobre un segmento y a la tortuga sobre una recta. Los dos parten a la vez desde el punto A y a la misma velocidad. La tortuga se mueve a velocidad uniforme, pero Aquiles, al que castigó Hermes por su soberbia, se ve obligado a moverse cada vez más despacio a una velocidad proporcional a la distancia que le separa del final del segmento. El movimiento, como muestra la figura, ha de ser sincrónico de manera que cuando la tortuga llegue al punto C, Aquiles llegaría a γ, cuando la tortuga llegase a D, Aquiles llegaría a δ y así sucesivamente. Como veréis Aquiles está condenado a acercarse todo lo que quiera al final del segmento, pero nunca llegará a alcanzarlo.

Figura 1: Movimiento sincrónico sobre las dos rectas

Vaya por delante que la historia de Aquiles es de mi cosecha y que Napier no la nombra en ningún momento, pero como el blog es mío me tomo las licencias poéticas que me apetecen.

Este es el símil cinemático que utilizó Napier y que le permitió obviar el problema de la continuidad. Quizás lo veréis mejor si en vez de situar las rectas paralelas las disponemos una perpendicular a la otra estando Aquiles en el eje X y la tortuga en el eje Y. Los puntos indican donde donde tienen que coincidir los dos y la línea roja la unión suave entre dichos puntos. Seguro que esta figura les resulta familiar a muchos:

Figura 2: Movimiento sincrónico sobre las dos rectas situadas perpendicularmente la una a la otra.

Para entender como define Napier los logaritmos tenemos que remontarnos a lo que se estaba buscando: una forma sencilla de operar con senos y cosenos. Por esa razón Napier hace recorrer a Aquiles el seno de un ángulo¹ que es un segmento, el sinus totus, de longitud arbitraria e igual a 10.000.000, mientras que la tortuga, despacio pero segura, recorre su línea recta a velocidad constante, de manera que para cualquier instante la distancia que le falta por recorrer a Aquiles para llegar al final del segmento es el seno y la distancia recorrida por la tortuga en el mismo tiempo es el logaritmo del seno. En consecuencia, mientras los senos decrecen en proporción geométrica, el logaritmo de Napier crece en proporción aritmética. La figura 3 muestra lo que entendía Napier por el logaritmo del seno.

Figura 3. La definición de logaritmo según Neper

La figura 4 muestra lo mismo pero de una forma a la que quizás estemos más acostumbrados.

Figura 4: La definición de logaritmo según Neper representada en forma moderna

Ahora si que estamos en condiciones de rellenar los huecos y de asistir a los retoques que permitirán dejar a los logaritmos tal y como los conocemos hoy en día; pero como ya estoy cansado, lo dejo para más adelante.

¹ Pero ¡ojo!, no el seno tal como lo entendemos nosotros hoy en día si no tal y como se entendía en la época de Neper.

Bibliografía:

Logarithms: The Early History of a Familiar Function

The Logarithms, Its Discovery and Development

Las funciones logarítmica y exponencial por Aguilar de Pérez, Lidilia (1981)

Del tamaño y forma de la Tierra o cuán grande es nuestra casa (2).

Una vez que esta historia ha dado comienzo parece razonable que empecemos por el principio y

en el principio eran los griegos...

El esquema general para determinar el radio terrestre se muestra en la figura. Midiendo s y α podemos determinar directamente el valor del radio terrestre.

La primera medición conocida del radio de la Tierra la llevó a cabo Eratóstenes hacia el 240 a. C. Tenía noticias de que en Siena (la actual Asuán) al mediodía del solsticio de verano el Sol iluminaba el fondo de un pozo, mientras que en Alejandría los árboles en ese mismo instante daban sombra. Asumiendo que el Sol se encontraba lo suficientemente lejos como para considerar sus rayos paralelos (cierto) y que Alejandria y Siena se encontraban en el mismo meridiano (falso) podría determinar el radio terrestre si conociese la distancia entre Alejandría y Siena. Una vez medida la sombra que proyectaba un obelisco en Alejandria, obtuvo que el valor del ángulo α era de 7º 12'. Ya solo le quedaba por determinar la distancia entre ésta y Siena.

Medición del arco de meridiano terrestre por Erastótenes

Hay tres hipótesis de cómo lo hizo: tomando el valor de la Biblioteca de Alejandría, donde era bibliotecario, mediante la distancia estimada por las caravanas de comerciantes que había entre las dos ciudades o valiéndose de un grupo de soldados que dieran pasos de tamaño uniforme. La distancia que finalmente utilizó fue de 5000 estadios, si bien hay controversias si es estadio era el egipcio¹ que equivalía a 135 m, o 157 m si el codo utilizado era el real, o el griego (estadio ático) ligeramente mayor, e igual 174 m.
El resultado obtenido, en función del tipo de estadio empleado variaba entre los 5.374 km y los 6.931 km, frente a los 6.371 km reales, lo que corresponde a una circunferencia terrestre variable entre 33.750 km y 45.000 km). El error cometido, inferior en el peor de los casos al 16%, es insignificante, si bien hay que tener en cuenta que fue afortunado ya que los errores cometidos (la distancia no es la correcta y Alejandría y Siena no están en el mismo meridiano) se compensaron.

Pero Eratóstenes no fue el único griego al que le dió por medir el radio terrestre. Hacia el año 100 a. C. Posidonio determinó el radio terrestre tomando como referencia la estrella Canopus (Alfa Carinae, α Car). Posidonio observó que en Rodas, Canopus apenas era visible sobre el horizonte, mientras que en Alejandría ascendía hasta una altura de 7º 30' (realmente 5º 14')

El método de Posidonio

Posidonio estimo la distancia entre las dos ciudades en 5.000 estadios, lo que llevaría a un radio terrestre igual que en el caso anterior, variable entre los 5.159 y 6.900 km, o lo que es lo mismo una circunferencia terrestre entre 32.400 y 43.200 km, corroborando los resultados de Eratóstenes. Pero Estrabón primero, y Ptolomeo después redujeron la distancia entre Rodas y Alejandría a 3.750 estadios y 3.350 estadios, empequeñeciendo la circunferencia de la tierra hasta los 29.000 km, lo que facilitaría el viaje de Colón 1.500 años después.

Para simplificar las cosas ahí os va un cuadro resumen con lo que llevamos visto:

Valores de referencia
Radio terrestre	6.366 km
Circunferencia terrestre	40.000 km
Mediciones
distancia (estadios)	5.000	5.000	3.750	3.350
ángulo	7,2	7,5	7,5	7,5
Valor del radio terrestre en km según...
1 estadio =	Eratóstenes	Posidonio	Estrabón	Ptolomeo
135 m	5.374	5.159	3.869	3.457
157 m	6.250	6.000	4.500	4.020
174 m	6.927	6.650	4.987	4.455
180 m	7.166	6.879	5.159	4.609
Valor correspondiente de la circunferencia terrestre (en km)
	33.750	32.400	24.300	21.708
	39.250	37.680	28.260	25.246
	43.500	41.760	31.320	27.979
	45.000	43.200	32.400	28.944

Ubicación aproximada de las ciudades desde donde se hicieron estas medidas

Pero no fueron los griegos los únicos que intentaron medir el radio terrestre. También chinos y árabes hicieron sus propias medidas, pero eso lo dejaremos para más adelante.

¹ A su vez la longitud del estadio egipcio, que equivale a 300 codos, depende de si utilizamos el codo egipcio o el real.

Algunas curiosidades que nunca te contó tu profe de mates.

Estando un día con mi hija Carmen en brazos se nos acercaron unos turistas y me puse a hablar con ellos en inglés. En esto llega mi mujer y mi hija, muy seria, le dice:

— Mamá... Papá habla raro.

Desde pequeños, estoy tratando de meterles en la cabeza a mis hijos la importancia de saber idiomas para poder entenderse, sin ayuda de nadie, en el idioma original de tu interlocutor. El más que sabido traduttore—traditore ha dado lugar a numerosas anécdotas y las matemáticas tampoco iban a librarse de ellas. Como ya conté aquí, el mundo occidental empezó a tener noticia de las funciones trigonométricas a partir de las traducciones realizadas por Robert de Ketton (o Chester), quien en el 1145 tradujo en Segovia¹ la célebre obra de al-Jwarizmi  Hisab al-Yabr wa' l-Mukabala, considerado el primer libro de álgebra. A la hora de traducir, el árabe es un idioma especialmente jodido porque al escribirlo es muy común omitir las vocales cortas y el significado de la palabra ha de deducirse del contexto. Así dicho el bueno de Roberto se encontró con el término:

jb

y tuvo que ponerle, como si estuviese jugando a la Ruleta de la Fortuna, las vocales apropiadas. No sabemos si fue por pereza o porque se estaba aficionado en exceso al cochinillo y al buen vino, pero el hecho es que Don Roberto no se molestó de buscar en Google, porque si lo hubiera hecho se habría encontrado con...

En el común de Occidente las únicas aportaciones dignas de mención que le otorgamos a los hindúes es el descubrimiento del cero y la invención del ajedrez. Naturalmente la realidad es mucho más amplia, ya que la matemática hindú hizo un aporte esencial sin la cual las matemáticas no hubiesen podido desarrollarse. Hablo de la numeración posicional. En el sistema de numeración romana L es siempre cincuenta; X, diez o I, uno. Así por ejemplo LXII equivale a nuestro a 62, y CLXII equivale a 162. Los matemáticos hindúes desarrollan un sistema de numeración en el que el valor de cada número varía con la posición que ocupe. Así un 2 escrito en la segunda posición vale diez veces más que escrito en la primera. Los matemáticos hindúes son, por lo tanto, los inventores del sistema de numeración posicional en base 10 y hacia el 595 d. C. aparece escrita en notación decimal en un plato la fecha del año 346. Pero aún hay más...

En el siglo II a. C Hiparco de Nicea había desarrollado una tabla de cuerdas para poder resolver triángulos. Dicha tabla debió de pasar, probablemente a través de la escuela alejandrina, a los matemáticos hindúes, quienes tradujeron cuerda con el término sánscrito jya, que a su vez deriva del termino cuerda del arco². En algún momento decidieron que sería más práctico trabajar con la mitad de la cuerda (ardha-jya o jya-ardha), y así es como nos lo encontramos en los textos de Aryabhata pero el personal, que aquí y en la India, es bastante perro siguió utilizando el tradicional jya. Cuando los árabes toman prestado el término, lo aproximan por jyla y fonéticamente deriva en el árabe jiba, que escrito queda:

jb

Esta fue la situación en la que se encontró Don Roberto quien acosado por la necesidad, compró vocales y compuso el término:

jaib

que significa: bahía, golfo³ que en latín se dice sinus.

La etimología del resto de los términos trigonométricos es más aburrida. El término coseno lo introdujo John Newton a partir de una modificación del término co.sinus sugerido Edmund Gunter en 1.620. A su vez este término no es más que una abreviación de "seno del ángulo complementario"

Por último los términos tangente y secante los introdujo Thomas Fincke en 1583 y hacen referencia a su significado geométrico clásico: tocar en un punto y cortar. Lo dicho, un rollo.





¹ En aquella época las zonas fronterizas entre España cristiana y musulmana sirvieron como foco de atracción de traductores de todos los países, ya que era el lugar de paso del conocimiento entre el mundo musulmán, mucho más avanzado por aquel entonces, y el cristiano.
² Aquí arco hace referencia al arma.
³ Aquí golfo hace referencia al accidente geográfico.

Fuentes
Matemática hindú
La matemática hindú
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (2)

Esta es la entrada donde comencé a hablar de la aburrida maravillosa historia de los logaritmos. Terminé con la primera definición que Napier daba en su libro, por lo que, en buena ley, ahora correspondería continuar con más definiciones, llegar a la definición de logaritmo y terminar con la correspondiente caterva de proposiciones, teoremas y corolarios... justo lo que hace que las matemáticas sean odiadas por la mayor parte del género humano. Así que vamos a darle un pequeño giro y comenzaremos, como no podía de ser de otra forma, por el principio del principio, aunque para ello tengamos que retroceder un poco en el tiempo, aproximadamente hasta el 8500 a. C. en los albores del Neolítico.
El Neolítico marca el momento en que el hombre deja de ser nómada para convertirse en sedentario: es el inicio de la domesticación de los animales, lo que dará lugar al pastoreo, del pastoreo, la agricultura, la cerámica y los primeros poblados (lo que llevaría, años más tarde, a la burbuja inmobiliaria). El sedentarismo conlleva además la necesidad de saber cuándo hay que sembrar, cuándo van a migrar los animales, para adelantarse a sus movimientos, anticipar las crecidas e inundaciones... y todo ello se consigue con el gran reloj natural que son las estrellas. No es de extrañar, por lo tanto, que la astronomía fuera de las primeras ciencias que se desarrollasen y de su mano vienen la trigonometría plana y la esférica.

Vista aérea de Stonehenge, obtenida de Google Earth.

Así la trigonometría era ya conocida por babilonios y egipcios, quienes establecen el sistema sexagesimal. En la antigua Grecia, en el siglo II a. C., Hiparco de Nicea construye una tabla de senos para la resolución de triángulos. Conviene señalar que su definición de seno, no coincidía con la moderna (cateto opuesto dividido entre la hipotenusa). Ellos definían el seno (ver dibujo) como la mitad de la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio R arbitrario.

Definición de seno de un ángulo

También en la época de Napier el seno se consideraba como un segmento. y al radio r se le denominaba "sinus Totus". En sus cálculos Napier utilizará un radio igual a 10 000 000.

También los matemáticos hindúes y árabes trabajaron con las funciones trigonométricas y a finales del siglo X habían completado las restantes funciones trigonométricas (coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente) y habían enunciado los principales teoremas y fórmulas de la trigonometría, tanto de la plana como de la esférica. Habría que esperar hasta el siglo XII para que Occidente comenzase a enterarse de que va la copla, gracias a las traducciones de libros de astronomía árabes, que aparecen en el siglo XII.

Aunque cueste creerlo en el siglo XI los habitantes de Jaén, disponían de baños públicos con piscinas de agua fría y caliente. En la misma época, en el norte de la Península y los antepasados de la señora Merkel se bañaban cuando el coyote cogía al correcaminos.

Todo comienza a cambiar con la llegada del Renacimiento, aunque cuando la cosa comienza realmente calentarse es con el Descubrimiento de América. La navegación impulsa el desarrollo de numerosos campos, produciendo a finales del siglo XVI una auténtica explosión de en todos los saberes relacionados con la ciencia y la tecnología. Astronomía, ingeniería naval, cartografía matemática, geodesia,... todos tienen algo en común necesitan cálculos, cálculos y más cálculos y además suficientemente exactos, lo que a su vez se traduce en la búsqueda de nuevos métodos para calcular más rápidamente y con mayor precisión. Acaba de nacer el arte de la computación (y de ahí a las calculadoras e internet no hay más que un paso). De manera que parece natural que se comenzaran a buscarse sistemas que permitiesen sustituir procesos complicados como la multiplicación o división por otros más sencillos como la suma y la resta. A este procedimiento se le denomina prostaféresis¹ (19 puntos, más los correspondientes bonus, en el Scrabble).
Un buen ejemplo de esto es la igualdad:

que fue la que probablemente la que llevó a Napier a trabajar inicialmente con senos, lo que además estaba plenamente justificado porque su idea original era la de facilitar los cálculos trigonométricos a los astrónomos y, ya puestos, alegrarles un poco su vida².
En resumen a finales del siglo XVI hay una necesidad imperante de hacer cálculos complejos de todo tipo, especialmente trigonométricos, de una forma rápida y precisa y en el horizonte la única idea que aparece como viable, a falta de las calculadoras electrónicas, es sustituir las multiplicaciones por sumas. La pregunta del millón es:

¿Alguien sabe cómo?

Aunque parezca mentira ya se había dado un primer paso. Naturalmente para llegar a él hay que volver a viajar en en el tiempo, unos 2000 atrás aproximadamente, hasta llegar a Aristóteles que en los pocos ratos que Alejandro le dejaba libre, se dedicaba a estudiar cosas tan curiosas como esta:
Escribamos en una fila las potencias de 2 y debajo los números naturales³.

1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	9192
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

Si ahora queremos multiplicar 16 por 128

1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	9192
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

basta con sumar 4 + 7 = 11, para obtener el resultado (2048) buscado. Ahora bien, ¿cómo haríamos con esta misma tabla para multiplicar 3 por 5 9? La genialidad de Napier consistió, precisamente, es saber como rellenar esos huecos.
Como en aquella época aún no se había establecido el concepto de continuidad de una función⁴, Napier utiliza un símil cinemático: el movimiento sincrónico de dos puntos. Sitúa el primero sobre una recta moviéndose a velocidad constante, mientras que el otro se desplaza sobre un segmento a una velocidad decreciente proporcional a la distancia que le resta por recorrer. No está claro⁵ como se le ocurrió a Neper la idea, pero me gusta imaginar que lo que hizo fue darle un giro a la conocida paradoja de Zenón del veloz Aquiles y la tortuga. En ambos casos tenemos dos corredores, uno de ellos corriendo a una velocidad constante (la tortuga / el logaritmo) y otro corriendo sobre un recorrido que sigue una suerte de progresión geométrica decreciente (Aquiles  / el seno). Aquiles, en la paradoja, necesitaría un tiempo infinito para coger a la tortuga, pero como aquí lo que queremos es que los dos vayan a la par, ahora lo que tendrá que ser infinito será el camino recorrido por la tortuga / el logaritmo.
Mañana, más.




¹ Término compuesto de dos palabras griegas: prosthesis (πρόσθεσις) y aphairesis (ὰφαίρεσις) que significan adición y sustracción, dos de los pasos del proceso.

² De ahí que Laplace afirmarse, no sin cierta exageración, que:

"Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos".

³ Progresiones geométricas y aritméticas respectivamente. Si la gente supiese ver la diferencia entre ellas nos ahorraríamos todos los timos piramidales y la burbuja inmobiliaria.

⁴ El concepto de continuidad lo estableció Bolzano en 1781.

⁵ Lord Moulton en la lección inaugural, "La invención del logaritmo, su génesis y evolución", del Congreso que se celebró en Edimburgo en 1915 con motivo del tricentenario de la invención de los logaritmos escribió:

"The invention of logarithms came on the world as a bolt from the blue. No previous work had led up to it, nothing had foreshadowed it or heralded its arrival. It stands isolated, breaking in upon human thought abruptly without borrowing from the work of other intellects or following known lines of mathematical thought ".

El invento de los logaritmos vino al mundo como salido de la nada. Ningún trabajo previo condujo a él, nada lo presagió, ni anunció su llegada. Es algo aislado, que se introduce en el pensamiento humano abruptamente sin tomar nada prestado del trabajo de otros intelectos o siguiendo líneas conocidas del pensamiento matemático.

Bibliografía:
AGULAR PÉREZ, Lidilla. Las funciones logarítmica y exponencial.
CLARK, K. M y MONTELLE, C. Logarithms: The Early History of a Familiar Function.
Math Forum. The Logarithms, Its Discovery and Development.
MOULTON Lord, et al. Napier tercentenary memorial volume.
PÉREZ DELGADO, Juan Manuel. El que hacer matemático. Un recorrido por la historia. Parte II: La matemática en el siglo XVII.
TAPIA MORENO, Francisco Javier. Historia de los Logaritmos. Apuntes de la Historia de las matemáticas. Vol 2. nº 2.

Del tamaño y forma de la Tierra o cuán grande es nuestra casa.

El 19 de julio de 1808 tuvo lugar un acontecimiento histórico:  por primera vez es derrotado en batalla campal el ejército napoleónico. Dicha batalla tuvo lugar en Bailén, situada a unos 40 km al norte de Jaén y a unos 300 km al sur de Madrid. Bailén es también tierra de alfareros, ya saben esos señores que colocan barro sobre un torno y al hacerlo girar van dando forma a una vasija, botijo,... Cualquiera que haya visto un torno en funcionamiento, verá como la masa de barro, con independencia de su forma inicial, va poco a poco convirtiéndose en una esfera, eso sí, achatada por los polos y abultada por el ecuador. Ese hecho le llevo a Newton a postular que esa debería ser la forma de la Tierra. Por otra parte Clairaut, a partir de una serie de medidas de tipo geodésico apostaba a que la forma de la Tierra sería una esfera, pero aplastada por el ecuador.

El saber la forma exacta de la Tierra y el lugar que ocupa en el universo es algo que ha preocupado al hombre desde que vivía bajo de los árboles. Los primeros pobladores lo tenían muy claro: si vivían en una isla, el mundo era una isla rodeada de agua, si vivían en tierra el mundo no era más que una inmensa llanura. Naturalmente hubo quien preguntó por primera vez donde se apoyaba semejante planicie y en ese mismo instante comenzaron los problemas.

Representación de la Tierra según los hindúes.¹

Los hindúes respondieron que la Tierra, evidentemente plana, se apoyaba en cuatro pilares.

P: ¿Y dónde se apoyaban los pilares?
R: Ésta es fácil: los pilares los sujetaban elefantes.


P: ¿Y quien sujeta a los elefantes?
R: Ésta también: Los elefantes descansan en una tortuga.


P: ¿Y la tortuga?
R: ¿Sabe qué ya está empezando a cansarme?. La tortuga nada sobre un gigantesco océano


P: ¿Y que hay debajo del océano?.
R: SE ACABÓ.

Supongo que alguien hizo esa pegunta alguna vez y que la respuesta fue tan convincente que desde ese momento nadie más volvió a hacer la pregunta.

La realidad es que las cosmogonías de casi todas las culturas han sido bastante similares: una Tierra plana apoyándose en cuatro pilares/gigantes/elefantes/guerreros, acompañada con un número variable de mundos y sus correspondientes cielo/infierno donde íbamos a parar después de nuestra vida en este mundo en función de nuestros méritos.

El primer cambio significativo acerca de la forma de la Tierra surge en Grecia en el s VI a.C. con Anaximandro de Mileto, filósofo jonio, quien postuló que la Tierra era un inmenso cilindro curvado en la dirección norte-sur, pues lo primero que se ve de un barco al aparecer por el horizonte es el velamen, cosa que no ocurriría si la Tierra fuese plana. El siguiente paso lógico fue darse cuenta que como ese fenómeno ocurría con independencia de la dirección que llevase el barco, la Tierra debería ser una esfera. Además la sombra que proyecta la Tierra durante un eclipse es siempre un círculo y la única figura cuya proyección es siempre un círculo es la esfera.

En resumen alrededor del siglo VI a.C surge, en la antigua Grecia, el concepto de Tierra esférica, concepto que es aceptado como realidad física en el s. II a. C. cuando Erastótenes mide el radio de la circunferencia terrestre demostrando así la esfericidad de la misma.

De manera que cuando Colón decide vender su proyecto de viaje a las Indias en dirección oeste a portugueses, primero, y a castellanos después, ya se  sabía más que de sobra que la Tierra era redonda. Frente a la creencia popular de que el proyecto se rechaza porque unos y otros creían que la Tierra era plana, es una solemne tontería. El proyecto se rechaza porque Colón es un tramposo. A la hora de presentar su idea Colón tiene sumo cuidado de elegir de todos los posibles radios de la Tierra que se habían calculado el más pequeño posible, para que nos hagamos una idea situó a Japón en Cuba, y de todos los recorridos que llegaban a la India bordeando África por el Cabo de las Tormentas Buena Esperanza elige el mayor de los posibles porque esta era la única manera posible de que le cuadrasen los cálculos.

Un vez que la circunnavegación terrestre llevada a cabo por Magallanes y Elcano (1519-1521) demuestra fehaciente la esfericidad de la Tierra, queda por ver cuáles son sus dimensiones exactas.

Pero eso mejor lo dejamos para otro día.



¹ Este dibujo está sacado de aquí.

Mintiendo con ayuda de los mapas

El río Guadiana, cuyo nombre en árabe deriva del que le dieron los romanos, Anna, y éste a su vez de una palabra prerromana que significa¹ río (con lo que río Guadiana sería rio+rio+rio) recorre la submeseta sur española en dirección este-oeste, hasta llegar a altura de Badajoz donde toma rumbo sur, desembocando en el océano Atlántico entre Ayamonte y Vila Real. Su celebridad se debe a que, de acuerdo a la leyenda, es un río que desaparece y reaparece a lo largo de su recorrido y de ahí la expresión ser como el Guadiana, para indicar un fenómeno que desaparece y reaparece sin avisar a intervalos irregulares de tiempo, como por ejemplo la pregunta: ¿quién descubrió América?

Dejemos claro que América la descubrieron los pueblos asiáticos que atravesaron el Puente de Beringia hará unos 13000 años (ó 20000 según con quien hable). Posteriormente hubo incursiones vikingas hacia los siglos X y XI de nuestra era, pero lo que es indudable es que a Colón le corresponde el mérito de haber dado a conocer a Europa y al resto del mundo su existencia... o quizás no, porque Gavin Menzies en su libro, 1421: el año en que China descubrió el mundo, afirma que fue el almirante Zheng Heue quien, al servicio de Zhu Di, tercer emperador de la dinastía Ming, recorrió y cartografió las costas americanas al mando de la mayor flota vista hasta entonces. Como prueba de la existencia del viaje está este mapa, dibujado por Mo Yi Tong en 1763, pero copiado de otro de Zheng Hu de 1418.

El mapa de Mo Yi Tong

Lo malo de este mapa, como han puesto de manifiesto varios expertos, es que es más falso que un euro de madera. Una prueba evidente de su falsedad es que California aparece dibujada como una isla. Desde la expedición de Francisco de Ulloa en 1539 se sabía que California era una península y así aparece dibujada en el mapa de Mercator de 1587.

La triste realidad es que la Isla de California aparece en el mundo por un error de imprenta. Lo que sucedió fue que en los siglos XVI y XVII, en plena Era de los Descubrimientos, los mapas mundi se convirtieron en elementos decorativos y comenzaron a hacerse como rosquillas, sin ningún tipo de criterio científico. Un error en el grabado de una plancha hizo que California apareciese como un isla y el error, alimentado por leyendas y novelas de caballería hizo que la insularidad de California prosperase.

Es más que evidente que alguien que recorrida la costa de California, tanto de norte a sur como de sur a norte, la cartografíe como una isla, por lo tanto el mapa de Mo Yi Tong no es más que una copia de un mapa europeo de la época.


¹Otra posible etimología es que Ana venga de la palabra latina que significaba pato, pero reconozcamos que la primera opción es más chula.

Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (1)

El Camino Real Persa, construido en el s V. a.C por Dario I era una carretera que atravesaba todo el imperio y permitía recorrer sus 2700 km de longitud en apenas siete días, facilitando las comunicaciones entre todos los rincones del imperio. Tal era su fama, que cuando el impaciente monarca Tolomeo I de Egipto le preguntó al bueno de Euclides si no existía manera más fácil para que un monarca aprendiera geometría, éste le contestó:

"Majestad, no hay un Camino Real para la geometría".

Y es que pocas cosas igualan tanto a las personas como las matemáticas. Cervantes, por ejemplo, al principio del Quijote no solo hace suyas las palabras de Feliciano de Silva:

''La razón de la sinrazón que a mi razón se hace, de tal manera mi razón enflaquece, que con razón me quejo de la vuestra fermosura,''

si no que también refleja el sentir que durante cientos de años han sentido, y seguirán sintiendo, los estudiantes de todo el mundo, época y condición hacia las maravillosas leyes de la razón entre los números, porque detrás de tan barroco nombre se encuentra una de las más fascinantes, odiadas,  incomprendidas y útiles invenciones de la que ha sido capaz el ser humano: la razón entre los números o logaritmo.

¿Cómo, quién y cuándo se llegó a ellos? ¿Por qué Laplace afirmó que "el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos"?.

En ésta y sucesivas entradas trataré de dar respuestas a estos interrogantes.

En 1614 Napier publica su libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Para quien no domine el latín aquí hay una versión en inglés) donde por primera vez da una descripción de lo que son los logaritmos. Junto a Lord Napier destaca la figura de Henry Briggs, inventor de los logaritmos decimales o comunes. Tenemos una descripción del encuentro entre estos dos fascinantes personajes gracias al relato que hace astrólogo Lilly en su autobiografía William Lilly's history of his life and times from the year 1602 to 1681.

Al principio, cuando Lord Napier, o Marchiston, hizo públicos los logaritmos, el Sr. Briggs, por entonces profesor de Astronomía en el Gresham College de Londres, estaba tan asombrado de su admiración hacia ellos, que no podía estar tranquilo, hasta que hubiese conocido a la noble persona de Lord Marchiston, que era su único inventor. Desde ese instante familiarizó a John Marr¹ con ellos, quien fue a Escocia antes que el Sr. Briggs, para poder estar ahí cuando estas dos eruditas personas se encontrasen. Sr. Briggs señaló un cierto día para reunirse en Edimburgo: pero al ir llegando a la misma, Lord Napier dudaba de que viniese. Sucedió que un día que John Marr y Lord Napier estaban hablando del Sr. Briggs. '¡Ah, John!', dijo Marchiston, 'el Sr. Briggs no vendrá'. En ese mismo instante alguien llamó a la puerta; John Marr se apresuró a ir hacia abajo, y resultó que, para su gran satisfacción, era el Sr. Briggs. Llevó al Sr. Briggs hasta la cámara de Lord (Marchiston) mi Señor, donde ambos hombres estuvieron casi un cuarto de hora, contemplándose con admiración, antes de que se dijese una palabra; por fin señor Briggs comenzó:

"Señor, he emprendido este largo viaje con el propósito de verlo en persona, y saber por qué rasgo de ingenio o inventiva fue el primero en pensar en esta excelente ayuda para la astronomía, a saber, los logaritmos; pero, Señor, siendo Ud. el que lo descubrió, me pregunto como es que nadie los descubrió antes, cuando, ahora una vez conocidos son algo tan sencillo".

Fue noblemente entretenido por Lord Napier, y cada verano después de ese, mientras Lord (Napier) estuvo vivo, este venerable hombre, el Sr. Briggs, fue a propósito a Escocia para visitarle.

Para entender toda la historia vamos a ver como comienza Lord Napier su descripción de los logaritmos:

Def. 1. Una línea se dice que aumenta de manera uniforme, cuando el punto que la describe avanza a través de intervalos iguales en iguales momentos o intervalos de tiempo.

Hay un punto A, a partir del cual una línea se puede dibujar por el flujo [es decir, movimiento regular] de otro punto B, y por lo tanto en el primer momento [o intervalo de tiempo] B pasa de A a C. En el segundo momento, de C a D. En el tercer momento de D a E; y así en adelante indefinidamente, describiendo la línea ACDEF etc. por los intervalos iguales de CA, CD, DE, EF, y con el resto igual sucesivamente, y descritos en intervalos iguales de tiempo. Esta línea se puede decir que aumenta de forma pareja por la definición dada anteriormente.
Cor. De esto, es necesario que las cantidades igualmente diferentes se producen por incrementos igualmente diferentes de tiempo.

Dado que en la figura anterior, en un solo momento B ha progresado de A a C y en tres momentos de  A a E. Así, en seis momentos, B ha progresado desde la A a la H, y en ocho momentos de A a K. Más aún, las diferencias de estos momentos de tiempo, uno y tres, y de los otros seis y ocho, obviamente, son iguales a dos. Así también, como anteriormente, hay diferencias iguales de estas cantidades, AC y AE, CE; y de éstas AH y AK, HK.

En lenguaje moderno hablaríamos, desde el punto de vista de los físicos, que la recta se describe mediante un movimiento uniforme mientras que un matemático vería claro que Lord Napier está describiendo una progresión aritmética de razón b.

Creo que por hoy ya es suficiente, así que para mañana más.

¹ Matemático y geómetra del época.

En busca de las llaves en el fondo del mar

Una de las ventajas de ser dueño de un blog es que uno puede darse el gusto de publicar lo que le venga en gana sin tener que rendir cuentas a nadie. La trágica desaparición del vuelo 370 de Malaysia Airlines y todo el misterio que lo envuelve, me ha traído a la memoria lo que hace un tiempo publiqué aquí.

Espero que esta entrada sirva para clarificar un poco porqué es tan difícil hallar los restos del avión y de paso transmitir mi pésame a los familiares de todas las víctimas.

La aeronave desaparecida, en 2011. (Fuente wikipedia)

El 1 de junio de 2009 un Airbus A330-200 de Air France desapareció sobre el océano Atlántico con 216 pasajeros y 12 tripulantes a bordo. Sus dos cajas negras se encontraron, a cuatro mil metros de profundidad, el 27 de abril y el 1 de mayo 2011 casi dos años después del accidente. Cuesta creer que se tarde tanto tiempo en encontrar un objeto sumergido a solo cuatro kilómetros de profundidad que, además, está emitiendo una señal de localización y que, por ejemplo, el llegar a Marte, situado a 60 millones de kilómetros nos lleve solo nueve meses.

El motivo porque el que la mar guarda tan bien sus secretos es que no hay forma de ver dentro del agua. El agua es prácticamente opaca a todo el espectro de la radiación electromagnética, por ejemplo la luz visible no llega a más de 300 m de profundidad, por lo que no es una forma práctica de detectar objetos en el fondo marino. Tan solo queda el sonido como medio de comunicarse o detectar objetos sumergidos. El sónar, acrónimo en inglés de SOund NAvigation and Ranging (navegación y localización por sonido) y popularizado por las películas de la Segunda Guerra Mundial con su clásico ‘ping’, es un instrumento que utiliza la propagación del sonido bajo el agua para estos fines.

Naturalmente la cosa no es ni tan fácil ni tan bonita como nos la pinta Hollywood. De hecho es bastante más complicada ya que la propagación del sonido dentro del agua sigue las leyes de todo movimiento ondulatorio, viéndose afectado por la reflexión y, lo que es más importante, por la refracción, por lo que su trayectoria dista mucho de ser una línea recta.

Las leyes de la refracción establecen que cuando una onda atraviesa dos medios donde se propaga con diferentes velocidades se desvía de su trayectoria original. En el caso del océano, la velocidad de propagación del sonido es el resultado de la distribución vertical de salinidad, presión y temperatura. A este perfil de velocidades en función de la profundidad se le conoce como traza celerimétrica.

Por lo tanto el conocimiento de la salinidad, la presión y la temperatura son vitales si queremos saber como va a propagarse un rayo acústico en el medio marino. La salinidad, s, es en principio, el menos importante de los tres y su valor es conocido en cada zona del océano. La presión depende de la profundidad, z, por lo que también es un término que podemos calcular con facilidad. Nos queda el más esquivo de todos: la temperatura. Los factores que afectan la distribución de la temperatura son tres: la radiación solar recibida, el intercambio de calor con aguas más profundas (transporte vertical) y el debido a los efectos de corrientes y del viento, (transporte horizontal).

Debido a que la radiación solar apenas penetra en el océano su influencia solo llega a los 30 m. Como el viento y las corrientes superficiales mezclan el agua, se forma una capa, denominada capa de mezcla, de unos 100 m de profundidad donde la temperatura es prácticamente la misma y va variando a lo largo del día de acuerdo a la radiación solar recibida.

Por debajo de esta capa, la temperatura empieza a descender con la profundidad. No obstante, en latitudes medias el calor acumulado en el verano en la capa superficial se transmite a aguas más profundas, mientras que en invierno el efecto es el contrario. Estos efectos estacionales se traducen en lo que se conoce como termoclina estacional, que puede llegar hasta una profundidad, dependiendo de su ubicación geográfica, de entre los 50 m y los 1000 m. En esta zona es donde se produce, además, un descenso brusco de la temperatura. Por debajo de esta capa la temperatura sigue descendiendo con la profundidad, pero de una forma muy lenta hasta llegar al fondo del mar. En resumen, la forma en la que se propaga un rayo acústico depende de su velocidad y ésta depende de la salinidad, presión (profundidad) y temperatura (véase la figura 1).

Figura 1. Estructura típica de velocidad asociada a la termoclina estacional

La temperatura es función, a su vez, de la profundidad, de la hora del día, de la época del año y, por supuesto, de la ubicación geográfica. Con esta introducción podemos empezar a vislumbrar por qué no es tan fácil encontrar algo dentro del agua. Veamos ahora como se propaga el sonido. La refracción de las ondas sonoras obedecen las leyes de Snell. Supongamos dos zonas donde las velocidades de propagación son, respectivamente, v₁ y v₂. (Véase figura 2)

v₁ sen θ₂= v₂ sen θ₁

Figura 2. Leyes de Snell

De esta ecuación se deduce que si la velocidad v₂ es mayor que v₁, los rayos se acercan a la superficie, de manera que para un determinado valor del ángulo de incidencia θ₁, denominado ángulo límite, los rayos sónicos recorrerán la línea de separación entre los dos medios y para ángulos mayores de θ₁, los rayos rebotarán contra la segunda capa produciendo una zona de sombra que permanecerá oculta al sónar. (Véanse la figura 3 y la figura 4).

Figura 3. Ángulo y rayo límite

Figura 4. Perfil sonoro típico

También la estructura de la traza celerimétrica, de la que hablábamos al principio, da lugar a un fenómeno conocido como canal sonoro, en el que el sonido puede propagarse miles de kilómetros sin apenas pérdidas, al quedar atrapado entre dos capas de gradiente de velocidad positivo. (Véase la figura 4).

Figura 5. Propagación del sonido a través de un canal sonoro.

Por si estas dificultades pareciesen pocas, he de confesar que he simplificado el modelo al máximo ya que no se han tenido en cuenta ni los fenómenos de absorción, ni de dispersión, ni el efecto rebote de las ondas sonoras sobre el fondo marino, ni el ruido de fondo… Solo así puede entenderse por qué, a pesar de estar tan próximo, el fondo del mar permanece oculto a nuestros ojos y nos resulta más fácil cartografiar la superficie de Marte que el mar Mediterráneo. También toma sentido el dicho que circula en las Armas Submarinas de todo el mundo:

“Hay dos tipos de barcos: blancos y submarinos”

Para terminar, aunque al principio haya comentado la poca importancia de la salinidad, en la desembocadura de los grandes ríos, como por ejemplo el San Lorenzo, la diferencia de salinidad entre el agua dulce del río y la salada del océano produce grandes zonas de sombra. Esta es una amarga lección que aprendió la Real Armada Canadiense durante la II Guerra Mundial cuando los submarinos alemanes hundieron, a la puerta de su casa, 23 barcos mercantes.

¹La velocidad del sonido en el agua puede calcularse a través de la fórmula de Mackenzie (1981)
c = 1448,96 + 4,591 T 0,05304 T² + 0,0163 z + 1,34 (S-35)
c: velocidad (m/s)
T: Temperatura (ºC)
z: Profundidad (m)
S: Salinidad en partes por mil. Entre 30 y 40

Bibliografía
EN-Allied Anti-Submarine Warfare Manual – ATP-28(A). Varios.
An Introduction to Underwater Acoustics. Principles and Applications. Xavier Lurton. Springer, 2002

La toponomía o el arte de bautizar (2)

Se conoce con el nombre de Guerras Indias al conjunto de guerras entre los nativos americanos y los colonizadores del actual Estados Unidos. De todas las batallas que tuvieron lugar, sin duda la más recordada y más veces llevada al cine es la batalla de Little Big Horn. En ella las tropas del General Custer fueron masacradas por una coalición de tribus indígenas bajo el mando de Caballo Loco. En un último intento de Custer por salvar su vida, y la de sus hombres, se dirigió al punto más elevado del campo de batalla y desde allí trató, en vano, de defender su posición. A dicho lugar ahora se le conoce con el nombre de Custer's Last Stand Hill, (La colina de la última resistencia de Custer)

La colina de la última resistencia de Custer

El que un lugar elevado represente una ventaja estratégica a la hora de defender una posición, es algo conocido desde la época de los romanos. Los romanos solían situar sus campamentos en lugares elevados, denominados castros. Con el tiempo algunos de estos castros fueron creciendo y alrededor de ellos se edificaron ciudades. La ciudad, así formada, tomó su nombre del castro original, por ejemplo Castro Urdiales o Castronuevo. En inglés el término castro evolucionó a chester y de ahí llegamos a Chester, Manchester, Leicester o Lancaster. La palabra castro también dió lugar a castillo, y de ahí Castilla, Castelldefells, en catalán, o todos los lugares que en Francia llevan la palabra Châteaux.

Los godos debieron pensar que a falta de montañas, buenas son torres, y más si son fortificadas, de manera que edificaron sus ciudades alrededor de los bŭrgs, (fortaleza, ciudad fortificada), término que evolucionó a -burgo, en español y portugués, -borough, en inglés, -burg, en alemán, o -bourg en francés. Por eso no es de extrañar que abunden tanto los nombres de ciudad con dichos sufijos. Ahí tenéis una pequeña colección: Burgo (P), Pelourinho do Burgo (P), Burgos, Burgo de Osma, Peterboro, Salzburgo, Estrasburgo, Cherburgo, Hamburgo, Manderburgo...¹

Y una vez explicado el origen la mitad del topónimo, parece buena idea ir a por la otra mitad, y así ver el significado completo. Pero mejor, para no ser pesado, dejamos eso para otro día.



¹En los idiomas originales: Peterborough, Salzburg, Strasbourg/Straßburg, Cherbourg, Hamburg, Manderburg...¹

El mapa de los Reyes Magos

El solsticio de invierno es el momento del año en que el sol aparece más bajo sobre el horizonte y se corresponde con el día más corto del año. En los dos hemisferios, tanto en el norte sobre el 21 de diciembre como en el sur sobre el 21 de junio, éstos son días de fiestas y celebraciones. Los cristianos aprovecharon una festividad existente, en la que se honraba a Mitra con una reunión familiar, en la que se comía, bebía a lo grande y se intercambiaban regalos (¿les suena?), para conmemorar el nacimiento de Jesús.

Figuras centrales del nacimiento de Jesús, junto con el pesebre, la mula y el buey, son los tres Reyes Magos. Para ser precisos, en ninguna parte de la Biblia se mencionan ni que fuesen tres, ni que fuesen reyes; tan solo magos y además el término griego magós no se utiliza con el significado de hechiceros, lo que está gravemente penado en la Biblia, sino más bien se utiliza con el significado de hombres sabios.

El hecho es que estos hombres sabios,  que representan a toda la humanidad y a la búsqueda de la verdad, tienen desde entonces una tarea de vital importancia: llevar en la noche del 5 al 6 de enero, regalos a todos aquellos, especialmente a los niños, que se hayan portado bien durante el año anterior.

Supongo que será por el anís que les dejan los otros padres, pero el hecho es que cuando llegan a mi casa vienen ligeramente piripis y se dedican a esconder los juguetes a mis hijos, con lo que todos los años las carreras para buscar los regalos son épicas. Todos los años, hasta éste. Mis hijos, con muy buen criterio, han decidido atacar el problema desde una perspectiva científica y para ello nada mejor que un mapa de la casa donde figuren todos los posibles escondites y así ellos (J y G) puedan buscarlos de forma ordenada.

Este es un buen ejemplo de lo que comentaba el el post anterior. Los mapas son fundamentales en muchas actividades de nuestras vidas y ya desde pequeños, aunque no lo sepamos, los utilizamos para nuestros fines.

No obstante alguien podría objetar que lo que han dibujado mis hijos no es un mapa si no un plano. ¿Mapa, plano? ¿Son términos sinónimos o hay alguna diferencia entre ellos?

Para responder a esta pregunta, conviene que le demos un vistazo al hecho de como solventamos el hecho de que la Tierra no quepa en un papel. Para ello nada mejor que reducir el tamaño de la Tierra, y representar esta reducción mediante una escala. De manera que:

La escala es la relación matemática que existe entre las medidas en el plano y la medidas en la realidad.

Habitualmente la escala se representa en forma de fracción de la forma:

E = 1: e

siendo e un número entero. Por ejemplo

Escala 1:250.000

lo que significa que, por ejemplo, 1 cm en el plano, representa 250000 cm (= 2500 m = 2,5 km) medido en la superficie terrestre.

Otra forma de representar las escalas es en modo gráfico:

en la escala gráfica cada segmento muestra la relación entre la longitud en el mapa y la de la realidad.

Los mapas también van a clasificarse en función de la escala, así que tendremos:

• Mapas a pequeña escala: cuando la escala es menor que 1: 250 000. Se utiliza habitualmente para la representación de regiones, países, continentes o planisferios.
• Mapas a mediana escala: cuando la escala está comprendida entre 1: 25 000 y 1: 250 000. La utilizaremos para representar provincias o partes de éstas.
• Mapas a gran escala: cuando la escala está comprendida entre 1: 1 000 y 1: 5 000. La utilizaremos para representar ciudades.
• Planos: cuando la escala es mayor que 1: 1 000. En este caso podemos prescindir de la curvatura terrestre y asumir que la Tierra es plana. La utilizaremos para representar parcelas, obras civiles y en general cualquier tipo de edificación con detalle.

Los límites de esta clasificación no dejan de ser arbitrarios y no hay un consenso al respecto. Alguien que trabaje en la ordenación del territorio acostumbrado a trabajar a escalas 1:10 000, puede considerar que un mapa a escala 1:25000 es un mapa a pequeña escala, mientras que alguien que un cartográfo que trabaje en la elaboración de atlas, cuyas escalas de trabajo es del orden de 1:5 000 000, puede considerar un mapa a escala 1:25000 como un mapa a gran escala.

Así pues plano y mapa no son sinónimos: el plano es un tipo particular de mapa.

La elección de la escala es función del detalle con el que queramos representar el mapa. El límite viene dado por la percepción del ojo humano que es de 0,2 mm, de manera que si queremos representar detalles de 20 m de tamaño, necesitaremos una escala inferior a:

0,2 10^-3 x e = 20

e = 20 x 10³ / 0,2

e = 1 x 10⁵

E = 1: 100 000

¿Y qué sucede con los objetos menores de ese tamaño? Bueno eso da lugar a otros dos problemas con los que lidiaremos más adelante: la generalización cartográfica y la simbología.