Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (3)

Ya disfrutamos de la maravillosa velada entre Lord Napier y Henry Briggs y se planteó la necesidad de los logaritmos. El cómo llegó Napier a ellos, cómo los calculó y probar cual es su utilidad son tareas que aún tenemos pendientes.

En el capítulo anterior ya vimos como relacionando una progresión geométrica con una aritmética podíamos convertir una multiplicación en una suma. El procedimiento funciona bien para cantidades discretas pero nos quedaba resolver el problema de rellenar los huecos.

Zenón planteó una serie de paradojas en las que demostraba que el movimiento no era posible. Por ejemplo en una de las variantes de la paradoja de Aquiles, el de los pies ligeros, y la tortuga, Aquiles no puede alcanzar a la tortuga, ya que ni siquiera puede ponerse en movimiento, porque antes de recorrer el tramo que le dio en ventaja, tendría que haber recorrido la mitad de ese tramo y antes de ese, la cuarta parte y antes la octava y así sucesivamente.

Demos ahora un giro a esta historia y pongamos a Aquiles sobre un segmento y a la tortuga sobre una recta. Los dos parten a la vez desde el punto A y a la misma velocidad. La tortuga se mueve a velocidad uniforme, pero Aquiles, al que castigó Hermes por su soberbia, se ve obligado a moverse cada vez más despacio a una velocidad proporcional a la distancia que le separa del final del segmento. El movimiento, como muestra la figura, ha de ser sincrónico de manera que cuando la tortuga llegue al punto C, Aquiles llegaría a γ, cuando la tortuga llegase a D, Aquiles llegaría a δ y así sucesivamente. Como veréis Aquiles está condenado a acercarse todo lo que quiera al final del segmento, pero nunca llegará a alcanzarlo.

Figura 1: Movimiento sincrónico sobre las dos rectas

Vaya por delante que la historia de Aquiles es de mi cosecha y que Napier no la nombra en ningún momento, pero como el blog es mío me tomo las licencias poéticas que me apetecen.

Este es el símil cinemático que utilizó Napier y que le permitió obviar el problema de la continuidad. Quizás lo veréis mejor si en vez de situar las rectas paralelas las disponemos una perpendicular a la otra estando Aquiles en el eje X y la tortuga en el eje Y. Los puntos indican donde donde tienen que coincidir los dos y la línea roja la unión suave entre dichos puntos. Seguro que esta figura les resulta familiar a muchos:

Figura 2: Movimiento sincrónico sobre las dos rectas situadas perpendicularmente la una a la otra.

Para entender como define Napier los logaritmos tenemos que remontarnos a lo que se estaba buscando: una forma sencilla de operar con senos y cosenos. Por esa razón Napier hace recorrer a Aquiles el seno de un ángulo¹ que es un segmento, el sinus totus, de longitud arbitraria e igual a 10.000.000, mientras que la tortuga, despacio pero segura, recorre su línea recta a velocidad constante, de manera que para cualquier instante la distancia que le falta por recorrer a Aquiles para llegar al final del segmento es el seno y la distancia recorrida por la tortuga en el mismo tiempo es el logaritmo del seno. En consecuencia, mientras los senos decrecen en proporción geométrica, el logaritmo de Napier crece en proporción aritmética. La figura 3 muestra lo que entendía Napier por el logaritmo del seno.

Figura 3. La definición de logaritmo según Neper

La figura 4 muestra lo mismo pero de una forma a la que quizás estemos más acostumbrados.

Figura 4: La definición de logaritmo según Neper representada en forma moderna

Ahora si que estamos en condiciones de rellenar los huecos y de asistir a los retoques que permitirán dejar a los logaritmos tal y como los conocemos hoy en día; pero como ya estoy cansado, lo dejo para más adelante.

¹ Pero ¡ojo!, no el seno tal como lo entendemos nosotros hoy en día si no tal y como se entendía en la época de Neper.

Bibliografía:

Logarithms: The Early History of a Familiar Function

The Logarithms, Its Discovery and Development

Las funciones logarítmica y exponencial por Aguilar de Pérez, Lidilia (1981)