El progreso imparable de burbujas, progresiones y otras historias

De acuerdo con la sociedad de tasaciones el incremento anual promedio del precio de la vivienda en España de 1996 a 2007 fue del 12%. Eso quiere decir que alguien que comprase una vivienda de 90 m² en 1996 por 90000 €, en el 2007 podría venderla por 250000 €, obteniendo unos beneficios de 160000 €. Con semejante rentabilidad no es de extrañar que la gente se volviera loca comprando y comprando vivienda, sin importarle el precio al fin y al cabo ¿quién le hace ascos a ganar, a ese ritmo, en cinco años unos 80000 €? Por si fuera poco ni siquiera es necesario hacer todo el desembolso: una entrada, cómodos plazos durante cinco años, se vende la casa y 80000 euracos de beneficio en menos de un pis pas. Con lo obtenido repito la jugada con dos pisos y ahora ya son 160000 €. ¿Soy o no soy un genio?.

Pues no chaval, no lo eres.

La gasolina de todas las burbujas económicas, ya sean tulipanes, las punto com o la vivienda, es la codicia y su motor es no saber distinguir entre una progresión aritmética y una geométrica.

En una progresión aritmética cada término es igual al anterior más una cantidad dada, denominada razón:$$a_{k+1} = a_k + r$$Así, por ejemplo, $$10, 30, 50, 70, 90, 110, ...$$es una progresión aritmética cuyo primer término es 10, y cuya razón es 20.

Calcular la suma de todos los términos de una progresión aritmética es sencillo. Basta fijarse que la suma del primero más el último es igual a la suma del segundo más el penúltimo:$$a_2 = a_1 + r\\a_{n} = a_{n-1} + r$$Restando a miembro a miembro$$a_2 - a_{n}= a_1 - a_{n-1}$$y reordenando:$$a_1 + a_{n}= a_2 + a_{n-1}$$De manera que la suma de n términos de una progresión aritmética es:\[S = \frac{{{a_1} + {a_n}}}{2}n\]Por ejemplo, la suma de los diez mil primeros términos de la progresión anterior es:\[Suma = \frac{{10 + 9999 \times 20 + 10}}{2}10000 = 1000000000=10^9\]
La progresión geométrica se le parece pero no es lo mismo. En una progresión geométrica cada término es igual al anterior multiplicada por una cantidad dada, también denominada razón:$$a_{k+1} = r \times a_k$$Así, por ejemplo, $$1; 1.1; 1.21; 1.331; 1.4641; 1.61051; ...$$es una progresión aritmética cuyo primer término es 1, y cuya razón es 1.1.

Calcular la suma de todos los términos de una progresión geométrica también es sencillo. Basta escribir\[\begin{array}{l} S = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\\ r\;S = r\;{a_1} + r\;{a_2} + ... + r\;{a_n} \end{array}\]restar miembro a miembro, tener en cuenta la definición de progresión geométrica:\[\left({1 - r} \right)S = {a_1} - r\;{a_n}\]y despejar:$$S = \frac{{{a_1} - r\;{a_n}}}{{1 - r}}$$
Ahora veamos algunos casos prácticos que nos permitan comparar las progresiones aritméticas y las geométricas. Comenzaremos con una pequeña apuesta. Por cada término de la progresión aritmética anterior, del uno al diez mil, te pago diez euros; y tú por cada término de la progresión geométrica del uno al doscientos, me pagas un euro. ¿Aceptas?

Hago una pila de hojas de papel, empezando desde cero y añadiendo cada vez un taco adicional de cien hojas. Si repito el proceso 64 veces, ¿cuál será la altura final de la pila de hojas?

Cojo una hoja de papel, la divido en dos mitades y las pongo encima de la primera. A continuación cojo otra hoja de papel, la divido en cuatro partes y las pongo encima de las anteriores. Si repito el proceso 64 veces, dividiendo cada vez la hoja el doble de veces que la vez anterior ¿cuál será la altura final de la pila de hojas?.

Antes de ver las soluciones de estos enigmas no está de más recordar que la hijoputez de las progresiones geométricas es conocida desde antiguo. Todos conocemos la historia del rey que quiso recompensar al inventor del ajedrez por aliviarle de sus largas horas de tedio con oro y joyas y que el sabio rechazó y tan solo pidió que en el primer cuadrado de un tablero de ajedrez pusiese un grano de arroz, el segundo dos, en tercero cuatro, doblando la cantidad en cada cuadrado hasta completar todo el tablero. Los cortesanos y el sultán celebraron con alborozo la petición del sabio, hasta que comprobaron con horror que no había arroz en todo el reino para satisfacer su demanda. La pregunta es que hay de verdad en la leyenda.

Las soluciones en la próxima entrada...