Una descripción de las maravillosas leyes de la razón entre los números (y 7)

Como a todo, también a esta historia le llega su fin y me gustaría hacer una recopilación final  de todo lo visto en los post anteriores, más alguna que otra cosa que se me quedó en el tintero.

Según nos cuenta Boyer (1968) también en la antigua Babilonia había tablas que contenían las sucesivas potencias de un número dado, análogas a las actuales tablas de logaritmos, aunque estrictamente hablando sean de antilogaritmos, en las que encontramos las primeras diez potencias para las bases 9, 16, 1.40 y 3.45. También aparecen en tablillas problemas del tipo: "a que potencia hay que elevar un número para poder hallar un número dado" lo que se correspondería a la actual definición de logaritmo. Lenguaje y notación aparte, hay dos diferencias principales entre esas tablas y nuestros logaritmos. La más evidente es el amplio intervalo que hay entre los valores sucesivos, lo que llevaba a los matemáticos babilonios a tener que interpolar de forma lineal para obtener los valores intermedios y el segundo es que sus tablas no estaban diseñadas para la realización de cálculos, si no más bien para resolver problemas específicos, como por ejemplo uno que dice¹: "cuando tiempo llevaría doblar una cantidad de dinero a un 20% de interés anual".

De los babilonios pasamos a los griegos y vemos que también en los enunciados de Euclides aparecen referencias a los exponentes y a Aristóteles quien vislumbró el procedimiento de convertir productos en sumas relacionando progresiones aritméticas y geométricas.

De un salto, pasamos de los romanos porque si bien como ingenieros eran unos fieras en matemáticas siempre flojearon, nos vamos a la Edad Media, al siglo XIV, donde Nicolle Oresme demuestra todas las reglas necesarias para trabajar con exponentes positivos. Cien años después N. Choquet agrega los exponentes negativos y el trabajo lo completa, en el siglo XVI, el alemán Michael Stifel empleando  exponentes fraccionarios.

Todo estaba dispuesto para que Bürgi y Napier de forma independiente desarrollaran el concepto del logaritmo a principios del siglo XVII. Como vimos en entradas anteriores, la definición de logaritmo de Napier es equivalente a\[N = {10^7}{\left( {1 - {{10}^{ - 7}}} \right)^L}\]Un adecuado re-escalado de las variables N y L, dividiéndolas por 10⁷, convierte la ecuación anterior en\[N' = {\left( {1 - {{10}^{ - 7}}} \right)^{L'}} = {\left( {1 - \frac{1}{{{{10}^7}}}} \right)^{L'}}\]que en términos modernos se expresaría como:

L' es el logaritmo en base (1-1/10⁷)⁷ de N'

Como el valor de esa base es prácticamente igual a 1/e, frecuentemente se le atribuya a Napier el descubrimiento del número e, aunque la realidad es que el concepto de base de logaritmo se desarrolló posteriormente al introducir los logaritmos comunes. La segunda edición de la traducción al inglés de su obra, por Edward Wright, trajo un bonus: un apéndice con tablas de logaritmos, algunos de cuyos valores se corresponden con el logaritmo que se obtendría usando la base 2.718, que se parece al número e, pero no se llegaba a mencionarlo de forma explícita.

La historia se completa con Euler, quien en 1705, los relacionó con la función exponencial y definió los logaritmos tal y como los conocemos actualmente.


Los logaritmos,  hasta el advenimiento de las calculadoras, han sido una herramienta imprescindible para poder realizar cálculos complejos pero si la pregunta que os hacéis es si a día de hoy, siguen dando juego, la verdad es que los logaritmos están más vivos que nunca. Hay fenómenos que presentan un amplio rango de variación entre sus valores máximo y mínimo y para los que una escala lineal no resulta adecuada. Por ejemplo el peso de los mamíferos varía entre los 3 gr de una musaraña y las 150 T de una ballena azul, lo que resultaría complicado de representar en una escala lineal, mientras que a escala logarítmica el rango de valores sería mucho más manejable ya que iría del -2,5 al 5,3.

Pero hay aún hay más: tanto el brillo con el que vemos las estrellas como la energía que se libera en un terremoto se miden con escalas logarítmicas. ¿Más ejemplos? El grado de acidez de una disolución, el nivel de ruido, la ley de enfriamiento de los cuerpos (que permite determinar la hora de la muerte) y en general cualquier proceso donde esté involucrada una función exponencial o una progresión geométrica como pueda ser la datación por elementos radioactivos (el célebre carbono-14), el crecimiento de poblaciones o el interés compuesto.

Fue precisamente el estudio de interés compuesto el que sacó a la luz a un nuevo número, del que ya hemos hablado someramente y que, por su importancia, se merece, al menos, una entrada propia: el número e, base además de los llamados logaritmos naturales o neperianos. ¿Que por qué se llaman así? Bueno, eso lo dejaremos para otro día.

Las tablas de logaritmos han sido ampliamente utilizadas desde el mismo momento de su invención por estudiantes, astrónomos, ingenieros y científicos de todo el mundo. Inclusive hubo quien en vez de mirar en las tablas miró a las tablas y descubrió que... Permitidme también que me lo guarde porque lo que descubrió da para otra historia.




Notas:
¹ ¡Hala! Ya tenéis trabajo para el fin de semana. Eso sí hacerlo al modo babilonio usando una tabla de potencias de 1,2.

Bibliografía
Amy Shell-Gellasch (2010) Napier's e Mathematical Association of America. (Consultado 18 de mayo de 2015)
Bourbaki N. (1976) Elementos de historia de las matemáticas. Alianza  Editorial.

Boyer, C. (1968) A History of Mathematics Wiley and sons. Nueva York (USA). (Consultado 18 de mayo de 2015)
Bruce et al (2014) Euler : Some Papers. (Consultado 18 de mayo de 2015)