Del éxito, las matématicas divertidas, los huevos y otras mercedes (2)

Bruce Willis es un tipo que me cae francamente bien. No es que le conozca personalmente ni nada de eso, pero el ver como, a diferencia de otros actores y actrices, ha ido envejeciendo con dignidad y sin retoques, hace que le confiera un punto de dignidad que no le doy a otros. En una de sus películas, que la verdad no me gustan mucho, se enfrenta con un psicópata que va sembrando de bombas Nueva York facilitándole adivinanzas para desactivarlas. En una de éstas tiene que conseguir llenar una vasija con cuatro litros de agua utilizando una de tres y otra de cinco. Original, ¿verdad?. Pues no tanto, porque dicho problema nos lo plantea Pérez de Moya en un libro del que ya he hablado: Aritmética Práctica y Especulativa, en ¡¡1562!!.

El problema de cómo dividir 8 arrobas de vino, su solución y otro propuesto en la 1ªedición. (1562)

Nihil novum sub sole, que dirían los clásicos.

El libro está dividido en nueve partes:

1. Libro Primero: Trata de las cuatro especies o reglas generales de Aritmética, práctica por números enteros: conviene a saber: sumar, restar, multiplicar, partir¹.
2. Libro Segundo: Trata de números quebrados y de sus diferencias y operaciones.
3. Libro Tercero: Trata de la regla de tres y compañías y testamentos o partijas y finezas de oro y otras cosas tocantes al Arte que dicen menor.
4. Libro Cuarto: Trata algunas reglas de Geometría, práctica necesaria para el medir de las heredades.
5. Libro Quinto: Trata de la aritmética especulativa².
6. Libro Sexto: Trata de reglas para constar sin pluma y reducir unas monedas castellanas a otras.
7. Libro Séptimo:  En el que se pone un compendio de la regla de la cosa³ o arte mayor.
8. Libro Octavo:  Trata de algunos caracteres de cuentas, monedas y pesos antiguos, juntamente con unas reglas para sacar las fiestas que dicen móvibles.
9. Libro Nono: En el cual se pone un razonamiento en forma de diálogo; el argumento del cual es introducir a dos estudiantes, el uno que dice no haber necesidad de Aritmética, y tiene por opinión que no hay ninguno que sepa contar, teniendo buenos dineros. El otro alaba la Aritmética, y defiende lo contrario. En la plática de estos dos, se tocan y tratan algunos avisos agradables y necesarios.

Este último libro, conocido como los Diálogos de la Aritmética Práctica y Especulativa constituye no solo la primera colección de problemas de matemáticas recreativas que se publica un español⁴ si no que además es el primer intento de vulgarizar las matemáticas, de ponerlas al alcance del vulgo con un lenguaje claro y accesible. Pérez de Moya es el primer divulgador científico de este país, y visto lo visto, hasta podríamos decir el de mayor éxito; lo que por otra parte no deja de ser lamentable, que en casi quinientos años no hayamos sido capaces de tener una figura que pueda comparársele.

En fin, volviendo a lo que iba. Como todos habréis visto la película, estoy seguro que ya sabéis la solución así que os pongo otro que también figura en el mismo libro:

¿Cómo dividir diez arrobas de vino en dos partes iguales usando dos medidas de 3 y 7 arrobas respectivamente?

Lo he resuelto en nueve movimientos. ¿Alguien es capaz de hacerlo en menos?

Solución del problema anterior:

Por si a alguien se le ha olvidado, aquí tiene el enunciado del problema propuesto en un post anterior. Del mismo se deduce que al dividir el número de huevos (con perdón) entre 2, 3, 4, 5 y 6 el resto ha de ser 1 y que el número de huevos es 7. Como al dividir el número de huevos entre el mínimo común múltiplo de 2, 3, 4, 5 y 6 también el resto tiene que ser uno, de la primera condición se sigue que:$$n = 60 x + 1$$ mientras que de la segunda:$$n = 7 y$$De donde:$$60 x + 1 = 7 y$$ siendo x, y números enteros y, además por la naturaleza de nuestro problema, mayores que cero.

Este tipo de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros, se conocen como ecuaciones diofánticas y reciben su nombre de Diofanto de Alejandría. No sabemos exactamente cuando nació, pero gracias a su epitafio sabemos que:

Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! la duración de su vida. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte, de vello se cubrieron sus mejillas. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.⁵

Genio y figura hasta la sepultura, que se dice en mi pueblo.

Para tranquilidad del personal no voy a entrar en detalles de como se resuelve la ecuación, quien tenga interés en como hacerlo tiene aquí y aquí dos buenos lugares donde aprender, y tan solo diré que en la cesta tiene que haber⁶: $$n = 301+ 420 λ$$ siendo λ un número entero. La primera solución es:$$n = 301$$ si bien, nuestra mujer también podría haber llevado 721 huevos, 1141 huevos ... (Manda huevos la cosa)

Pero podemos extraer una segunda y aún más valiosa lección. En su libro la respuesta que da es 721. La obtiene multiplicando 2 por 3 por 4 por 5 por 6 y sumándole uno, de suerte que el número resultante es  divisible entre 7. Aunque también acepta como buena la solución que he dado, si bien no indica como hallarla, y la solución es correcta, no lo es el procedimiento, porque fallaría en un enunciado del tipo:

El número de huevos al dividirlo entre 2 y entre 3 da uno, pero al dividirlo entre 5 el resto es cero .

Nada más lejos de mi intención que el criticar o cuestionar por esta nimiedad a Pérez de Moya, pero creo que de aquí podemos extraer una valiosa lección que enseñar a nuestros alumnos. Queremos hacerles creer no solo en la infalibilidad de las matemáticas, si no también en la de los matemáticos. Nada más lejos de la realidad. Los matemáticos, todos, también cometen errores. Los errores no nos conducen al fracaso, no son más que otro escalón en la escalera que nos lleva de la ignorancia al conocimiento.



¹ Dividir.
² Teórica.
³ Ecuaciones.
⁴ Hay una más que magnífica edición prologada y anotada por Rafael Rodríguez Vidal, publicada por la Universidad de Zaragoza en 1987, que es imprescindible para entender y apreciar los problemas que allí se cuentan. Aquí tenéis dónde os la podéis descargar: Diálogos de aritmética práctica y especulativa.
⁵ Gracias a Santa Wikipedia.
⁶ Solo consideramos las soluciones positivas.